Таблица распределения вероятностей доходности

Распределения вероятностей и ожидаемая доходность

Поскольку риск связан с вероятностью того, что фактическая доходность будет ниже ее ожидаемого значения, распределения вероятностей являются основой для измерения риска. Предположим, например, что вы финансовый менеджер фирмы, которая решила инвестировать 100 000 долларов сроком на один год. В таблице 1 приведены четыре альтернативных варианта инвестиций:

1. Казначейские векселя (Т-векселя) со сроком погашения один год и ставкой дохода 8%, которые могут быть приобретены с дисконтом (т.е. по цене ниже номинала); в момент погашения будет выплачена их номинальная стоимость.

2. Корпорационные облигации, которые продаются по номиналу с купонной ставкой 9% (т.е. на 100 000 долларов вложенного капитала можно получать 9000 долларов годовых) и сроком погашения 10 лет. Однако ваша фирма планирует продать эти облигации в конце первого года. Следовательно, фактическая доходность по облигациям будет зависеть от уровня процентных ставок на конец года. Этот уровень в свою очередь зависит от состояния экономики на конец года: быстрые темпы экономического развития, вероятно, вызовут повышение процентных ставок, что снизит рыночную стоимость облигаций, в случае экономического спада возможна противоположная ситуация.

3. Проект капиталовложений №1, чистая стоимость которого составляет 100 000 долларов. Денежный поток в течение года равен нулю, все выплаты осуществляются в конце года. Сумма этих выплат зависит от состояния экономики.

4. Альтернативный проект капиталовложений №2, совпадающий по всем параметрам с проектом №1 и отличающийся от него лишь распределением вероятностей ожидаемых в конце года выплат.

Распределением вероятностей называется множество возможных исходов с указанием вероятности появления каждого из них. Таким образом, в таблице 1 представлены четыре распределения вероятностей, соответствующие четырем альтернативным вариантам инвестирования. Доходность по казначейским векселям точно известна — она составляет 8% и не зависит от состояния экономики. Таким образом, риск по казначейским векселям равен нулю.

Отметим, что инвестиции в казначейские векселя являются безрисковыми только в том смысле, что их номинальная доходность не изменяется в течение данного периода времени. Реальная же доходность казначейских векселей содержит определенную долю риска, поскольку она зависит от фактических темпов роста инфляции в течение периода владения векселями. Более того, казначейские векселя могут представлять проблему для инвестора, который обладает портфелем ценных бумаг с целью получения непрерывного дохода: когда истекает срок платежа по казначейским векселям, необходимо осуществить реинвестирование денежных средств и если процентные ставки снижаются, доход портфеля также уменьшится.

Этот вид риска, который носит название риска нормы реинвестирования, не учитывается в нашем примере, так как период, в течение которого фирма владеет векселями, соответствует сроку их погашения. Наконец, отметим, что релевантная доходность любых инвестиций — это доходность после уплаты налогов, поэтому, значения доходности, используемые для принятия решения, должны отражать доход за вычетом налогов.

По трем другим вариантам инвестирования реальные, или фактические, значения доходности не будут известны до окончания соответствующих периодов владения активами. Поскольку значения доходности не известны с полной определенностью, эти три вида инвестиций являются рисковыми.

Оценка доходности по четырем инвестиционным альтернативам

Таблица 1
Доходность инвестиций при данном состояния экономики, %
Состояние экономики	Вероятность	Казначейские векселя, %	корпорационные облигации	проект №1	проект №2
Глубокий спад	0,05	80	12,0	— 3,0	— 2,0
Незначительный спад	0,20	80	10,0	6,0	9,0
Стагнация	0,5	80	9,0	11,0	12,0
Незначительный подъем	0,20	80	8,5	14,0	15,0
Сильный подъем	0,05	80	8,0	19,3	26,0
____________________________________________________________________________________
Ожидаемая доходность	—	80	9,2	10,3	12,0

Примечание. Доходность, соответствующую различным состояниям экономики следует рассматривать как интервал значений, а отдельные ее значения — как точки внутри этого интервала. Например, 10%-ная доходность облигации корпорации при незначительном спаде представляет собой наиболее вероятное значение доходности при данном состоянии экономики, а точечное значение используется для удобства расчетов.

Распределения вероятностей бывают дискретными или непрерывными. Дискретное распределение вероятностей имеет конечное число исходов; так, в таблице 1 приведены дискретные распределения вероятностей. Доходность казначейских векселей принимает только одно возможное значение, тогда как каждая из трех оставшихся альтернатив имеет пять возможных исходов. Каждому исходу поставлена в соответствие вероятность его появления. Например, вероятность того, что казначейские векселя будут иметь доходность 8%, равна 1.00, а вероятность того, что доходность казначейских корпоративных облигаций составит 9%, равна 0.50.

Если умножить каждый исход на вероятность его появления, а затем сложить полученные результаты, мы получим средневзвешенную исходов. Весами служат соответствующие вероятности, а средневзвешенная представляет собой ожидаемое значение. Так как исходами являются доходности, ожидаемое значение — это ожидаемая доходность (expected rate of return, k), которую можно представить в следующем виде:

, где

k_i — i-й возможный исход,
Р_i — вероятность появления i-го исхода,
n — число возможных исходов.

Используя формулу, находим, что ожидаемая доходность проекта 2 равна 12.0%

к = -2.0% * 0.05 + 9.0% * 0.20 + 12.0% * 0.50 + 15%* 0.20 + 26.0% * 0.05 = 12.0%

Ожидаемые доходности трех других альтернативных вариантов инвестирования найдены аналогичным образом (таблице 1).
Дискретные распределения вероятностей могут быть представлены графически или в табличной форме. На рисунке 1 приведены столбиковые диаграммы (или гистограммы) проектов №1 и №2.

Рисунок 1. Графическое представление дискретного распределения вероятностей; а — проект №1; б — проект №2

Возможные значения доходности проекта №1 принадлежат промежутку от -3.0 до +19.0%, а проекта №2 от -2.0 до +26.0%. Отметим, что высота каждого столбца представляет собой вероятность появления соответствующего исхода, а сумма этих вероятностей по каждому варианту равна 1.00. Отметим также, что распределение значений доходности проекта №2 симметрично, тогда как соответствующее распределение для проекта №1 имеет левостороннюю асимметрию. Аналогичные диаграммы для казначейских векселей и корпорационных облигаций показали бы, что доходность казначейских векселей представлена единственным столбцом, а доходность корпорационных облигаций представлена диаграммой, имеющей правостороннюю асимметрию.

Программная реализация данной методики финансовой математики сделана в: «Альтаир Финансовый калькулятор 2.xx».

На примере расчета ожидаемой доходности можно увидеть, как применять программу «Альтаир Финансовый калькулятор 2.xx» на практике.

Главная Методики финансового и инвестиционного анализа Финансовая математика Производительность труда
Copyright © 2021 by Altair Software Company. Потенциальным спонсорам программ и проекта.

Источник

Распределение вероятности ожидаемых доходов по двум инвестиционным проектам

Более наглядное представление об уровне риска дают результаты расчета среднеквадратического (стан­дартного) отклонения, представленные в табл. 3.3.

Расчет среднеквадратического (стандартного) отклонения по двум инвестиционным проектам

Результаты расчета показывают, что средне-квадратическое (стандартное) отклонение по ин­вестиционному проекту «А » составляет 150, в то время как по инвестиционному проекту «Б» — 221, что свидетельствует о большем уровне его риска.

Рассчитанные показатели среднеквадратиче­ского (стандартного) отклонения по рассматривае­мым инвестиционным проектам могут быть интер­претированы графически (рис. 3.11.)

Из графика видно, что распределение вероят­ностей проектов «А » и «Б » имеют одинаковую вели­чину расчетного дохода, однако в проекте «А » кри­вая уже, что свидетельствует о меньшей колебле­мости вариантов расчетного дохода относительно средней его величины R, а следовательно и о меньшем уровне риска этого проекта.

Рисунок 3.11. Распределение вероятности ожидаемого (расчетного) дохода по двум инвести­ционным проектам.

г) Коэффициент вариации. Он позволяет определить Уровень риска, если показатели среднего ожидаемого дохода от осуществления финансовых операций разли­чаются между собой. Расчет коэффициента вариации осуществляется по следующей формуле:

где CV— коэффициент вариации;

σ—среднеквадратическое (стандартное) отклонение;

R—среднее ожидаемое значение дохода по рас­сматриваемой финансовой операции.

Пример: Необходимо рассчитать коэффициент вариации по трем инвестиционным проектам при раз­личных значениях среднеквадратического (стандарт­ного) отклонения и среднего ожидаемого значения дохода по ним. Исходные данные и результаты рас­чета приведены в табл 3 4

Расчет коэффициента вариации по трем инвестиционным проектам

Результаты расчета показывают, что наимень­шее значение коэффициента вариации — по проекту «А», а наибольшее — по проекту «В» Таким обра­зом, хотя ожидаемый доход по проекту «В» на 33% выше, чем по проекту «А» ((600 – 450) / 450 х 100) , уровень риска по нему, определяемый коэффициентом вариации, выше на 61% )(0,53 – 0,33) / 0,33 х 100)

Следовательно, при сравнении уровней рисков по отдельным инвестиционным проектам предпоч­тение при прочих равных условиях следует отдавать тому из них, по которому значение коэффициентов вариации самое низкое (что свидетельствует о наи­лучшем соотношении доходности и риска).

д) Бета-коэффициент (или бета) Он позволяет оце­нить индивидуальный или портфельный систематичес­кий финансовый риск по отношению к уровню риска финансового рынка в целом. Этот показатель использу­ется обычно для оценки рисков инвестирования в от­дельные ценные бумаги. Расчет этого показателя осу­ществляется по формуле:

К — степень корреляции между уровнем доходности по индивидуальному виду ценных бумаг (или по их портфелю) и средним уровнем доходности данной группы фондовых инструментов по рынку в целом;

σ_и — среднеквадратическое (стандартное) отклонение доходности по индивидуальному виду ценных бумаг (или по их портфелю в целом);

σ_р — среднеквадратическое (стандартное) отклонение доходности по фондовому рынку в целом.

Уровень финансового риска отдельных ценных бу­маг определяется на основе следующих значений бета-коэффициентов:

Источник

Распределение доходностей на рынке акций

Автор: Дмитрий Никитенко
Дата записи

Сегодня мы разберем очень интересную тему о распределении доходностей акций. Она раскрывает природу инвестиционного риска ещё глубже и позволяет лучше понять как именно работает фондовый рынок и чего от него следует ожидать.

Если вы ещё не читали статью про инвестиционный риск, стоит сначала прочитать в ней про стандартное отклонение.

Распределение доходностей на фондовых рынках принято сравнивать с кривой нормального распределения (по функции Гаусса). Хотя далее мы выясним, что реальное распределение доходностей не полностью соответствует этой кривой, она весьма неплохо описывает происходящее на рынке на длинных периодах времени.

Кривая нормального распределения. По оси X – стандартное отклонение, по оси Y – вероятность. Проценты – это частота попадания значения стандартного отклонения в закрашенную область под кривой. Источник: Википедия

Смысл нормального распределения заключается в том, что основная часть значений случайной величины концентрируется возле своей средней (математического ожидания случайной величины), а значения по краям кривой маловероятны (случаются редко). Так, чем больше стандартное отклонение значений от среднего, тем меньше вероятность их появления.

В статистике существует правило трёх сигм (стандартных отклонений), которое наглядно изображено на графике выше. Закрашенные на нём области под кривой показывают сколько процентов времени стандартное отклонение значений случайной величины не превышает одну, две или три сигмы. Значения с отклонением более трёх сигм считаются практически невозможными.

Чтобы проверить соблюдается ли нормальное распределение доходностей на рынке акций, возьмем полные (с дивидендами) реальные (выше инфляции) доходности акций США на периоде с 1871 по 2018 год (по данным Роберта Шиллера и Yahoo! Finance):

• среднее арифметическое этих доходностей составило 8.5%;
• стандартное отклонение = 18.5%.

Если бы кривая нормального распределения полностью описывала распределение доходностей на фондовом рынке, то, согласно правилу трёх сигм:

• 68.27% времени доходность была бы между средним арифметическим ± одно стандартное отклонение (-10% и 27%);
• 95.45% времени – между средним ± два стандартных отклонения (-28.5% и 45.5%);
• 99.73% времени – между средним ± три стандартных отклонения (-47% и 64%).

Наблюдение за реальными данными даёт хоть и похожий, но всё же отличающийся результат. На самом деле доходности рынка акций США выше инфляции за 148 лет укладывались:

• в одно стандартное отклонение от своей средней арифметической 67.57% времени (не 68.27%);
• в два стандартных отклонения – 93.92% времени (не 95.45%);
• в три стандартных отклонения – 100% времени (не 99.7%), значений за пределами -47% и 64% за этот период не было, минимальная и максимальная доходность составили -38.47% в 1931 году и 57.16% в 1954 году.

Получается, что 9 из 148 лет принесли доходность меньше -28.49% или больше 45.51% (двух стандартных отклонений), что составило 6.08% случаев, а не ожидаемые согласно нормальному распределению 100% — 95.45% = 4.55%. Разница не так велика, но она есть и говорит о том, что аномальные доходности на рынке акций немного более вероятны, чем предсказывает нормальное распределение.

Посмотрим на те же данные по США на графике распределения доходностей. Здесь и далее снова используются полные реальные годовые доходности, разделенные на интервалы по 10%, каждый год определен в свой интервал.

Источники данных: Robert Shiller, Yahoo! Finance; инфляция: Robert Shiller, Bureau of Labor Statistics

График напоминает кривую нормального распределения, однако, крайних значений немного больше, чем предполагает гауссиана, а значит они случаются чаще. Интервал от -40 до -30% содержит в себе 5 лет, что больше, чем у предыдущего интервала от -30 до -20% (4 года), а интервал от 50 до 60% содержит в себе столько же лет (3), сколько и предыдущий, хотя согласно нормальному распределению тоже должен быть меньше.

Это называется fat tail или толстый хвост кривой – вместо того, чтобы стремиться к оси абсцисс (к нулю), кривая может отрываться от неё, что не соответствует нормальному распределению. Крупные просадки или аномально высокие доходности не настолько маловероятны как предсказывает гауссиана, что получило название tail risk. Такое поведение рынка подчёркивает важность психологии в инвестировании и умения инвестора пережидать плохие годы, не продавая активы. Каким бы плохим не был отдельно взятый день или год, доходность акций и облигаций имеет положительное математическое ожидание (среднее значение), а значит время и сложный процент сделают своё дело.

Используя индекс полной доходности MSCI World Net я также построил график распределения реальных годовых доходностей акций развитых стран. Хотя доступная выборка по нему значительно меньше (с 1970 года), можно отметить сходство в количестве положительных периодов с акциями США – практически 70% времени он приносил положительную реальную доходность. Об особенностях распределения на этом периоде я говорить не буду – довольно маленькое число наблюдений. Здесь худшим годом для индекса стал 2008 – доходность едва опустилась за -40% с учетом инфляции, а лучшим – 1986 с практически такой же доходностью, но без минуса.

График: Capital-Gain.ru. Источники данных: MSCI World Net Index; инфляция: Bureau of Labor Statistics

И, наконец, давайте посмотрим на распределение месячных доходностей на рынке акций США с 1988 года (375 месяцев).

График: Capital-Gain.ru. Источник данных: Yahoo! Finance

Здесь тоже можно заметить аномальные доходности по краям (больше ±10% за один месяц — это сильно). Но что ещё общего можно заметить на этих графиках? Они все немного сдвинуты вправо по оси доходностей, можно сказать, имеют больший вес в своей положительной части. Это является свидетельством того, что доходность акций исторически имела положительное математическое ожидание. По сути мы видим здесь ту добавленную стоимость, что генерирует бизнес по всему миру.

Нассим Николас Талеб в своей книге «Черный лебедь» пишет, что нормальное распределение отлично подходит для описания физически ограниченных значений (например, рост человека), потому что они не масштабируются так сильно, как физически неограниченные (например, продажи бестселлера или доходность фондового рынка). Конечно, ни продажи, ни доходность не могут быть бесконечными, однако, вы с гораздо меньшей вероятностью встретите человека ростом 3 метра, чем неожиданно проданную огромным тиражом книгу или аномальную доходность на рынке. Такие из ряда вон выходящие события он называет черными и белыми лебедями (в зависимости от того негативный оно имеет смысл или позитивный). Тут стоит отметить, что, на мой взгляд и по результатам самостоятельного анализа данных, как нормальное распределение не описывает доходности на фондовом рынке полностью, так и Талеб в своей книге преувеличивает значимость этих отклонений от нормального распределения , если смотреть на них с точки зрения долгосрочного инвестора. Для трейдеров, впрочем, эти отклонения действительно могут быть гораздо более значительными, ведь они оперируют более короткими временными интервалами, на которых аномальные (для правила трёх сигм) доходности случаются чаще – в дневных и месячных данных появляются стандартные отклонения и больше трёх сигм, что по нормальному распределению практически невозможно. К тому же трейдеры могут автоматически фиксировать убытки с помощью биржевых заявок стоп лосс, которые не применяются пассивными портфельными инвесторами.

Популярным примером является черный понедельник 19 октября 1987 года, когда индекс Dow Jones за один день упал на 22.61% – 25 своих дневных стандартных отклонений (!). Более недавний пример, изображенный на графике ниже – 24 июня 2016 года, когда состоялся референдум о Брексите и некоторые активы продемонстрировали аномальную дневную доходность. Количество лет в последней колонке таблицы, которые, согласно нормальному распределению, надо подождать, чтобы увидеть такие дневные доходности, намекает нам, что они гораздо более вероятны, чем может предсказать кривая Гаусса.

Доходности инструментов в день референдума в Великобритании, их множитель СКО и количество лет, раз в которые они ожидаются согласно нормальному распределению вероятностей. Источник: Charlie Bilello

Несмотря на то, что аномальные доходности на фондовом рынке – не такая редкость, как может спрогнозировать кривая нормального распределения, долгосрочному инвестору не стоит обращать внимания на них и уж тем более продавать свои активы из-за плохих новостей, фиксируя убыток , потому что такие аномальные доходности встречаются чаще именно на дневных или месячных данных, чем на годовых. Картинка ниже вполне подтверждает выделенные в этой статье утверждения – плохие новости или нет, положительная ожидаемая доходность и сложный процент долгосрочно заставляют капитал расти.

Прирост капитала, вложенного в акции компаний малой капитализации (small stocks), крупной капитализации (large stocks), государственные облигации (government bonds), векселя (treasury bills) и инфляция. Источник: SeekingAlpha

На выше графике показаны события, которые повлияли на рынок. Как видите, несмотря на войны и кризисы, активы показали значимый прирост капитала, опережающий инфляцию. Другой популярный пример против торговли по новостям показывает, как часто СМИ ошибаются в своих прогнозах.

График индекса акций США S&P 500 и новостные заголовки. Источник: Barry Ritholtz

Комиссии и распределение доходностей

На новости мы повлиять не можем, зато вполне возможно повлиять на комиссии и налоги, которые инвестор платит фондам, брокерам и государству. Чем больше размер комиссий и налогов, тем меньше математическое ожидание доходности портфеля, а значит и распределение его доходностей на графике смещается влево на размер комиссий и налогов – ближе к отрицательной зоне. Схематично это показано на графике ниже.

Влияние комиссий и налогов на распределение доходностей. Источник: Vanguard

Долгосрочному пассивному инвестору гораздо полезнее думать о том как уменьшить свои комиссии и воспользоваться налоговыми льготами, чем о новостях и аномалиях на фондовом рынке.

Источник