Стандартное отклонение доходности компании

Стандартное отклонение доходности портфеля

При определении среднеквадратического или стандартного отклонения доходности портфеля возникает проблема, связанная с тем, что портфель состоит из двух и более активов (например, акций), каждый из которых имеет свое стандартное отклонение доходности. При этом каждый из активов вносит свой компонент риска в соответствии со своим удельным весом. Расчет общего риска как средневзвешенного по всем компонентам является в корне неправильным подходом. Это связано с тем, что существует определенная взаимосвязь между доходностью активов, которая может быть как прямой, так и обратной.

Оценка тесноты и характера взаимосвязи производится на основании коэффициента корреляции, который может находиться в диапазоне от -1 до +1. Значения +1 и -1 говорят о том, что между доходностью двух активов существует функциональная зависимость (прямая и обратная, соответственно). На практике эти значения не встречаются, поэтому рассмотрим эту концепцию на примере двух коэффициентов корреляции: +0,7 и -0,3. Положительный коэффициент говорит, что между доходностями существует довольно тесная прямая зависимость. Другими словами, если доходность первого актива будет расти, то и доходность другого актива будет также расти, но не в той же самой мере, что и доходность первого. Отрицательный коэффициент -0,3 свидетельствует о существовании слабой обратной взаимосвязи. В этом случае рост доходности одного актива будет частично нивелирован снижением доходности другого и наоборот. Это приводит к тому, что при оценке стандартного отклонения доходности портфеля должны быть учтены взаимосвязи доходности активов, входящих в него.

Формула

В общем виде формулу расчета стандартного отклонения портфеля, состоящего из N активов, можно представить в следующем виде:

где N – количество активов (ценных бумаг), входящих в портфель;

w_i – удельный вес i-го актива в портфеле;

w_j — удельный вес j-го актива в портфеле;

σ (k_i) – стандартное (среднеквадратическое) отклонение доходности i-го актива;

Cov (k_i, k_j) – ковариация доходности i-го и j-го актива.

Представленную выше формулу можно преобразовать, используя формулу коэффициента корреляции.

где σ (k_j) — стандартное (среднеквадратическое) отклонение доходности i-го актива.

После преобразования она приобретет следующий вид:

где R(k_i, k_j) – коэффициент корреляции доходности i-го и j-го актива.

Если развернуть это выражение для портфеля, состоящего из двух активов A и B, то оно будет выглядеть следующим образом:

Поскольку третье и четвертое слагаемые равны между собой, то формулу стандартного отклонения портфеля для двух активов можно записать в виде.

Для портфеля, состоящего из трех активов A, B и C, формула будет выглядеть так:

С увеличением количества активов уравнение будет становиться все более громоздкой.

Пример

Рассчитаем стандартное отклонение доходности портфеля, который сформирован из трех ценных бумаг в следующих пропорциях:

• 25% акций Компании A со среднеквадратическим отклонением доходности 9%;
• 35% акций Компании B со среднеквадратическим отклонением доходности 12%;
• 40% акций Компании C со среднеквадратическим отклонением доходности 7%.

При этом коэффициент корреляции доходности акций A и B RA,B = 0,6, A и C RA,C = -0,45, B C RB,C = 0,2.

Подставим исходные данные в приведенную выше формулу:

σ 2 _P = 0,252*92 + 0,352*122 + 0,42*72 + 2*0,25*0,35*0,6*9*12 + 2*0,25*0,4*(-0,45)*9*7 + 2*0,35*0,4*0,2*12*7 = 40,92

Таким образом, стандартное отклонение портфеля составит 6,4% (квадратный корень из 40,92).

Источник

Стандартное отклонение — полное объяснение и пример — 2021 — Финансовый словарь

Table of Contents:

Что это такое:

Стандартное отклонение — это показатель того, насколько доходность инвестиций может варьироваться от среднего вернуть. Это показатель волатильности и, в свою очередь, риск. Формула для стандартного отклонения:

Стандартное отклонение = [1 / n * (r _i — r _ave ) 2 ] ½

где:
r _i = фактическая норма прибыли
r _ave = средняя норма прибыли
n = количество периодов времени

Для математики ориентированные читатели, стандартное отклонение — это квадратный корень дисперсии.

Как это работает (пример):

Предположим, что вы инвестируете в акции компании XYZ, которая вернула в среднем 10% в год за последние 10 года. Насколько рискован этот запас по сравнению, например, с акциями компании ABC? Чтобы ответить на этот вопрос, давайте сначала рассмотрим результаты года за годом, которые составляют это среднее значение:

. Вначале мы видим, что средняя доходность обоих акций за последние 10 лет составляла 10%. Но давайте посмотрим по-другому на то, как близкие доходы XYZ в любом конкретном году были в среднем на 10%:

Как вы можете видеть, только в течение года 9 XYZ вернул средние 10%. В другие годы доходность была выше или ниже — иногда намного выше (как в 7-м году) или намного ниже (как в 2-м году). Теперь посмотрим на годовую прибыль от акций компании ABC, которая также имела 10% -ный средний доход за последние 10 лет:

Как вы можете видеть, компания ABC также усреднила доход 10% за 10 лет, но сделала это с гораздо меньшей дисперсией чем компания XYZ. Его доходность более тесно сгруппирована примерно в среднем на 10%. Таким образом, можно сказать, что компания XYZ более волатильна, чем акции компании ABC. Стандартное отклонение стремится измерить эту волатильность, вычисляя, как «далеко» доходность, как правило, со среднего по времени.

Например, давайте рассчитаем стандартное отклонение для акций компании XYZ. Используя приведенную выше формулу, мы сначала вычтем фактический доход за год от среднего возврата, затем сравним эти различия (т. Е. Умножим каждую разницу отдельно):

Затем мы складываем столбец D (общая сумма составляет 3850). Мы делим это число на количество периодов времени минус один (10-1 = 9, это называется «беспристрастным» подходом, и важно помнить, что некоторые рассчитывают стандартное отклонение с использованием всех периодов времени — 10 в этом случае, а не 9). Затем мы берем квадратный корень из результата. Это выглядит следующим образом:

Стандартное отклонение = √ (3,850 / 9) = √427.78 = 0.2068

Используя тот же процесс, мы можем вычислить, что стандартное отклонение для менее волатильного запаса компании ABC намного ниже 0,0129.

Почему это имеет значение:

Стандартное отклонение — это мера риска того, что инвестиции не будут соответствовать ожидаемому возврату за определенный период. Чем меньше стандартное отклонение инвестиций, тем менее волатильным (и, следовательно, рискованным). Чем больше стандартное отклонение, тем более рассеянными эти доходы являются и, следовательно, более рискованные инвестиции.

Многие технические индикаторы, такие как полосы Боллинджера, включают понятие стандартного отклонения как способ определить, покупать или продавать акции , но важно помнить, что стандартное отклонение является лишь одним из многих факторов риска и не должно быть последним словом при определении того, является ли запас «слишком рискованным» или «недостаточно рискованным».

Источник

Среднеквадратическое (стандартное) отклонение

Определение

Среднеквадратическое отклонение (англ. Standard Deviation, SD) является показателем, который используется в теории вероятности и математической статистике для оценки степени рассеивания случайной величины относительно ее математического ожидания. В инвестировании стандартное отклонение доходности ценных бумаг или портфеля используется для оценки меры риска. Чем выше степень рассеивания доходности ценной бумаги относительно ожидаемого доходности (математическое ожидание доходности), тем выше риск инвестирования, и наоборот.

Среднеквадратическое отклонение как правило обозначается греческой буквой σ (сигма), а стандартное отклонение латинской буквой S или как Std(X), где X – случайная величина.

Формула

Истинное значение среднеквадратического отклонения

Если известно точное распределение дискретной случайной величины, а именно, известно ее значение при каждом исходе и может быть оценена вероятность каждого исхода, то формула расчета среднеквадратического отклонения будет выглядеть следующим образом.

Где X_i – значение случайной величины X при i-ом исходе; M(X) математическое ожидание случайной величины X; p_i – вероятность i-го исхода; N – количество возможных исходов.

При этом математическое ожидание случайной величины рассчитывается по формуле:

Стандартное отклонение генеральной совокупности

На практике вместо точного распределение случайной величины обычно доступна только выборка данных. В этом случае рассчитывается оценочное значение среднеквадратического отклонения, которое в этом случае называют стандартным отклонением (S). Если оценка основывается на всей генеральной совокупности данных, необходимо использовать следующую формулу.

Где X_i – i-ое значение случайной величины X; X – среднеарифметическое генеральной совокупности; N – объем генеральной совокупности.

Стандартное отклонение выборки

Если используется не вся генеральная совокупность данных, а выборка из нее, то формула расчета стандартного отклонения основывается на несмещенной оценке дисперсии.

Где X_i – i-ое значение случайной величины X; X – среднеарифметическое выборки; N – объем выборки.

Примеры расчета

Пример 1

Портфельный менеджер должен оценить риски инвестирования в акции двух компаний А и Б. При этом он рассматривает 5 сценариев развития событий, информация по которым представлена в таблице.

Поскольку нам известно точное распределение доходности каждой из акций, мы можем рассчитать истинное значение среднеквадратического отклонения доходности для каждой из них.

Шаг 1. Рассчитаем математическое ожидание доходности для каждой из акций.

M(А) = -5%×0,02+6%×0,25+15%×0,40+24%×0,30+34%×0,03 = 15,62%

M(Б) = -18%×0,02+2%×0,25+16%×0,40+27%×0,30+36%×0,03 = 22,14%

Шаг 2. Подставим полученные данные в первую формулу.

Как мы можем видеть, акции Компании А характеризуются меньшим уровнем риска, поскольку у них ниже среднеквадратическое отклонение доходности. Следует также отметить, что и ожидаемая доходность у них ниже, чем у акций Компании Б.

Пример 2

Аналитик располагает данными о доходности двух ценных бумаг за последние 5 лет, которые представлены в таблице.

Поскольку точное распределение доходности неизвестно, а в распоряжении аналитика есть только выборка из генеральной совокупности данных, мы можем рассчитать стандартное отклонение выборки на основании несмещенной дисперсии.

Шаг 1. Рассчитаем ожидаемую доходность для каждой ценной бумаги как среднеарифметическое выборки.

X _А = (7 + 15 + 2 – 5 + 6) ÷ 5 = 5%

X _Б = (3 – 2 + 12 + 4 +8) ÷ 5 = 5%

Шаг 2. Рассчитаем стандартное отклонение доходности для каждой из ценных бумаг по формуле для выборки из генеральной совокупности данных.

Следует отметить, что обе ценные бумаги имеют равную ожидаемую доходность 5%. При этом стандартное отклонение доходности у ценной бумаги Б ниже, что при прочих равных делает ее более привлекательным объектом инвестирования в следствие лучшего профиля риск-доходность.

Стандартное отклонение в Excel

В Excel предусмотрено две функции для расчета стандартного отклонения выборки и генеральной совокупности.

Для выборки воспользуйтесь функцией «СТАНДОТКЛОН.В»:

1. В диапазоне ячеек B1:F1 введены значения случайной величины X.
2. Выберите выходную ячейку B2.
3. В командной строке нажмите кнопку fx, во всплывшем окне «Вставка функции» выберите Категорию «Полный алфавитный перечень» и выберите функцию «СТАНДОТКЛОН.В».
4. В поле «Число1» выберите диапазон ячеек B1:F1, поле «Число2» оставьте пустым и нажмите кнопку «OK».

Для генеральной совокупности используется функция «СТАНДОТКЛОН.Г»:

1. В диапазоне ячеек B1:F1 введены значения случайной величины X.
2. Выберите выходную ячейку B2.
3. В командной строке нажмите кнопку fx, во всплывшем окне «Вставка функции» выберите Категорию «Полный алфавитный перечень» и выберите функцию «СТАНДОТКЛОН.Г».
4. В поле «Число1» выберите диапазон ячеек B1:F1, поле «Число2» оставьте пустым и нажмите кнопку «OK».

Интерпретация

В инвестировании стандартное отклонение доходности используется в качестве меры волатильности. Чем выше его значение, тем выше риск, связанный с инвестированием в этот актив, и наоборот. При прочих равных параметрах, предпочтение следует отдавать тому активу, у которого этот показатель будет минимальным.

Источник