Среднеквадратическое отклонение доходности активов

Стандартное отклонение доходности портфеля

При определении среднеквадратического или стандартного отклонения доходности портфеля возникает проблема, связанная с тем, что портфель состоит из двух и более активов (например, акций), каждый из которых имеет свое стандартное отклонение доходности. При этом каждый из активов вносит свой компонент риска в соответствии со своим удельным весом. Расчет общего риска как средневзвешенного по всем компонентам является в корне неправильным подходом. Это связано с тем, что существует определенная взаимосвязь между доходностью активов, которая может быть как прямой, так и обратной.

Оценка тесноты и характера взаимосвязи производится на основании коэффициента корреляции, который может находиться в диапазоне от -1 до +1. Значения +1 и -1 говорят о том, что между доходностью двух активов существует функциональная зависимость (прямая и обратная, соответственно). На практике эти значения не встречаются, поэтому рассмотрим эту концепцию на примере двух коэффициентов корреляции: +0,7 и -0,3. Положительный коэффициент говорит, что между доходностями существует довольно тесная прямая зависимость. Другими словами, если доходность первого актива будет расти, то и доходность другого актива будет также расти, но не в той же самой мере, что и доходность первого. Отрицательный коэффициент -0,3 свидетельствует о существовании слабой обратной взаимосвязи. В этом случае рост доходности одного актива будет частично нивелирован снижением доходности другого и наоборот. Это приводит к тому, что при оценке стандартного отклонения доходности портфеля должны быть учтены взаимосвязи доходности активов, входящих в него.

Формула

В общем виде формулу расчета стандартного отклонения портфеля, состоящего из N активов, можно представить в следующем виде:

где N – количество активов (ценных бумаг), входящих в портфель;

w_i – удельный вес i-го актива в портфеле;

w_j — удельный вес j-го актива в портфеле;

σ (k_i) – стандартное (среднеквадратическое) отклонение доходности i-го актива;

Cov (k_i, k_j) – ковариация доходности i-го и j-го актива.

Представленную выше формулу можно преобразовать, используя формулу коэффициента корреляции.

где σ (k_j) — стандартное (среднеквадратическое) отклонение доходности i-го актива.

После преобразования она приобретет следующий вид:

где R(k_i, k_j) – коэффициент корреляции доходности i-го и j-го актива.

Если развернуть это выражение для портфеля, состоящего из двух активов A и B, то оно будет выглядеть следующим образом:

Поскольку третье и четвертое слагаемые равны между собой, то формулу стандартного отклонения портфеля для двух активов можно записать в виде.

Для портфеля, состоящего из трех активов A, B и C, формула будет выглядеть так:

С увеличением количества активов уравнение будет становиться все более громоздкой.

Пример

Рассчитаем стандартное отклонение доходности портфеля, который сформирован из трех ценных бумаг в следующих пропорциях:

• 25% акций Компании A со среднеквадратическим отклонением доходности 9%;
• 35% акций Компании B со среднеквадратическим отклонением доходности 12%;
• 40% акций Компании C со среднеквадратическим отклонением доходности 7%.

При этом коэффициент корреляции доходности акций A и B RA,B = 0,6, A и C RA,C = -0,45, B C RB,C = 0,2.

Подставим исходные данные в приведенную выше формулу:

σ 2 _P = 0,252*92 + 0,352*122 + 0,42*72 + 2*0,25*0,35*0,6*9*12 + 2*0,25*0,4*(-0,45)*9*7 + 2*0,35*0,4*0,2*12*7 = 40,92

Таким образом, стандартное отклонение портфеля составит 6,4% (квадратный корень из 40,92).

Источник

Среднеквадратическое (стандартное) отклонение

Определение

Среднеквадратическое отклонение (англ. Standard Deviation, SD) является показателем, который используется в теории вероятности и математической статистике для оценки степени рассеивания случайной величины относительно ее математического ожидания. В инвестировании стандартное отклонение доходности ценных бумаг или портфеля используется для оценки меры риска. Чем выше степень рассеивания доходности ценной бумаги относительно ожидаемого доходности (математическое ожидание доходности), тем выше риск инвестирования, и наоборот.

Среднеквадратическое отклонение как правило обозначается греческой буквой σ (сигма), а стандартное отклонение латинской буквой S или как Std(X), где X – случайная величина.

Формула

Истинное значение среднеквадратического отклонения

Если известно точное распределение дискретной случайной величины, а именно, известно ее значение при каждом исходе и может быть оценена вероятность каждого исхода, то формула расчета среднеквадратического отклонения будет выглядеть следующим образом.

Где X_i – значение случайной величины X при i-ом исходе; M(X) математическое ожидание случайной величины X; p_i – вероятность i-го исхода; N – количество возможных исходов.

При этом математическое ожидание случайной величины рассчитывается по формуле:

Стандартное отклонение генеральной совокупности

На практике вместо точного распределение случайной величины обычно доступна только выборка данных. В этом случае рассчитывается оценочное значение среднеквадратического отклонения, которое в этом случае называют стандартным отклонением (S). Если оценка основывается на всей генеральной совокупности данных, необходимо использовать следующую формулу.

Где X_i – i-ое значение случайной величины X; X – среднеарифметическое генеральной совокупности; N – объем генеральной совокупности.

Стандартное отклонение выборки

Если используется не вся генеральная совокупность данных, а выборка из нее, то формула расчета стандартного отклонения основывается на несмещенной оценке дисперсии.

Где X_i – i-ое значение случайной величины X; X – среднеарифметическое выборки; N – объем выборки.

Примеры расчета

Пример 1

Портфельный менеджер должен оценить риски инвестирования в акции двух компаний А и Б. При этом он рассматривает 5 сценариев развития событий, информация по которым представлена в таблице.

Поскольку нам известно точное распределение доходности каждой из акций, мы можем рассчитать истинное значение среднеквадратического отклонения доходности для каждой из них.

Шаг 1. Рассчитаем математическое ожидание доходности для каждой из акций.

M(А) = -5%×0,02+6%×0,25+15%×0,40+24%×0,30+34%×0,03 = 15,62%

M(Б) = -18%×0,02+2%×0,25+16%×0,40+27%×0,30+36%×0,03 = 22,14%

Шаг 2. Подставим полученные данные в первую формулу.

Как мы можем видеть, акции Компании А характеризуются меньшим уровнем риска, поскольку у них ниже среднеквадратическое отклонение доходности. Следует также отметить, что и ожидаемая доходность у них ниже, чем у акций Компании Б.

Пример 2

Аналитик располагает данными о доходности двух ценных бумаг за последние 5 лет, которые представлены в таблице.

Поскольку точное распределение доходности неизвестно, а в распоряжении аналитика есть только выборка из генеральной совокупности данных, мы можем рассчитать стандартное отклонение выборки на основании несмещенной дисперсии.

Шаг 1. Рассчитаем ожидаемую доходность для каждой ценной бумаги как среднеарифметическое выборки.

X _А = (7 + 15 + 2 – 5 + 6) ÷ 5 = 5%

X _Б = (3 – 2 + 12 + 4 +8) ÷ 5 = 5%

Шаг 2. Рассчитаем стандартное отклонение доходности для каждой из ценных бумаг по формуле для выборки из генеральной совокупности данных.

Следует отметить, что обе ценные бумаги имеют равную ожидаемую доходность 5%. При этом стандартное отклонение доходности у ценной бумаги Б ниже, что при прочих равных делает ее более привлекательным объектом инвестирования в следствие лучшего профиля риск-доходность.

Стандартное отклонение в Excel

В Excel предусмотрено две функции для расчета стандартного отклонения выборки и генеральной совокупности.

Для выборки воспользуйтесь функцией «СТАНДОТКЛОН.В»:

1. В диапазоне ячеек B1:F1 введены значения случайной величины X.
2. Выберите выходную ячейку B2.
3. В командной строке нажмите кнопку fx, во всплывшем окне «Вставка функции» выберите Категорию «Полный алфавитный перечень» и выберите функцию «СТАНДОТКЛОН.В».
4. В поле «Число1» выберите диапазон ячеек B1:F1, поле «Число2» оставьте пустым и нажмите кнопку «OK».

Для генеральной совокупности используется функция «СТАНДОТКЛОН.Г»:

1. В диапазоне ячеек B1:F1 введены значения случайной величины X.
2. Выберите выходную ячейку B2.
3. В командной строке нажмите кнопку fx, во всплывшем окне «Вставка функции» выберите Категорию «Полный алфавитный перечень» и выберите функцию «СТАНДОТКЛОН.Г».
4. В поле «Число1» выберите диапазон ячеек B1:F1, поле «Число2» оставьте пустым и нажмите кнопку «OK».

Интерпретация

В инвестировании стандартное отклонение доходности используется в качестве меры волатильности. Чем выше его значение, тем выше риск, связанный с инвестированием в этот актив, и наоборот. При прочих равных параметрах, предпочтение следует отдавать тому активу, у которого этот показатель будет минимальным.

Источник

Пример определения риска актива.

Измерители рисков

Выделяют следующие измерители риска:

1. Стандартное отклонение доходности.Риск того или иного метода принятия решений оценивается через дисперсию его доходности. Измеряется риск отклонения реальной доходности от средней, однако, психологически многие не воспринимают отклонение доходности в большую сторону от средней за риск. Так же тяжело психологически воспринимается за риск и отклонение от средней месячной доходности в меньшую сторону не уходящее, однако, в отрицательные значения. Логическая ловушка заключается в том, что любое отклонение от средней доходности в большую сторону, в последующем уравновешивается таким же по величине отклонением в одной или серии отрицательных сделок.

Поэтому любое отклонение кривой дохода от прямой линии есть риск, вне зависимости от знака отклонения.

Дисперсия определяется по формуле:

,

где: – дисперсия доходности актива;

n – число периодов наблюдения;

r – средняя доходность актива; она определяется как средняя арифметическая доходностей актива за периоды наблюдения, а именно:

r_i – доходность актива в i-м периоде.

Стандартное отклонение определяется, как квадратный корень из дисперсии

где: σ – стандартное отклонение доходности актива.

Пример определения риска актива.

Допустим, что доходность актива в каждом году за пятилетний период составила следующие значения: 1-й год – 22%; 2-й год – 26%; 3-й год – 16%; 4-й год – 21 %; 5-й год – 17%.

1-й шаг. Определяем среднюю доходность актива за пятилетний период:

2-й шаг. Определяем отклонение величины доходности в каждом периоде от ее среднего значения.

3-й шаг. Возводим в квадрат полученные отклонения и суммируем их:

2,56 + 31,36 + 19,36 + 0,36 + 11,56 = 65,2

4-й шаг. Определяем дисперсию: 65,2 : 5 = 13,04

(Если имеется небольшое число наблюдений, как в нашем примере, то по правилам статистики в формуле определения дисперсии (48) в знаменателе вместо п–1 берут просто значение п).

5-й шаг. Определяем стандартное отклонение:

Стандартное отклонение говорит о величине и вероятности отклонения доходности актива от ее средней величины за определенный период времени. В нашем примере мы получили отклонение доходности актива за год, равное 3,61%. Доходность актива в том или ином году – это случайная величина. Массовые случайные процессы подчиняются закону нормального распределения. Поэтому с вероятностью 68,3% можно ожидать, что через год доходность актива будет лежать в пределах одного стандартного отклонения от средней доходности, т.е. в диапазоне 20,4% ± 3,61%; с вероятностью 95,5% этот диапазон составит два стандартных отклонения, т.е. 20,4% ± 2 х 3,61%; и с вероятностью 99,7% диапазон составит три стандартных отклонения, то есть 20,4% ± 3 х 3,61%.

Поскольку доходность актива – случайная величина, которая зависит от различных факторов, то остается 0,3% вероятности, что она выйдет за рамки трех стандартных отклонений, т.е. может как упасть до нуля, так и вырасти до очень большой величины.

Чем больше стандартное отклонение доходности актива, тем больше его риск. Например, два актива имеют одинаковую ожидаемую доходность, которая равна 50%. Однако, стандартное отклонение первого актива составляет 5%, а второго – 10%. Это говорит о том, что второй актив рискованнее первого, так как существует 68,3% вероятности, что через год доходность первого актива может составить от 45% до 55%, а второго – от 40% до 60% и т.д.

2. Волатильность. Волатильность представляет собой основную меру риска рыночного финансового инструмента.

Волатильность является случайной составляющей изменения цены финансового инструмента. Моделирование данной случайной величины представляет основу для оценки большинства рыночных рисков.

3. Уменьшение капитала от пика к впадине (Peak to Valley Drawdown). Очень важной и часто обделяемой вниманием величиной является убыток в процентах от капитала, измеряемый от пика к впадине.

4. Коэффициент Шарпа сводит доходность и риск в один показатель и позволяет анализировать доходности в контексте соответствующего им риска. Определяется следующим образом:

Коэф. Шарпа = (Доходность стратегии – Безрисковая ставка)/стандартное отклонение доходности.

За безрисковую ставку принимается обычно текущая доходность по гособлигациям. Как гласит один из постулатов теории управления капиталом: принимаемый риск инвестирования в актив должен быть пропорционален его коэффициенту Шарпа.

Пример расчета волатильности:

Шаг 1. Разделите сегодняшнее закрытие на предыдущее закрытие рыночного дня.

Шаг 2. Возьмите натуральный логарифм частного, полученного в шаге 1. Для примера рассчитаем годовую историческую волатильность индекса РТС на март 2010 года. При написании даты будем использовать формат (год/месяц/день). Закрытие 100331, равное 1572,48, разделим на закрытие 100330, равное 1562,29.

1572,48 / 1562,29 = 1,006522477. Натуральный логарифм равен 0,006501297.

Шаг 3. По истечении 21 дня у вас будет 20 значений для шага 2. Теперь рассчитайте 20-дневную скользящую среднюю значений из шага 2.

Дата	Закрытие	ln
31.03.2010	1572,48	1,006522	0,006501
30.03.2010	1562,29	1,006909	0,006885
29.03.2010	1551,57	1,020857	0,020643
26.03.2010	1519,87	1,003188	0,003183
25.03.2010	1515,04	1,000304	0,000304
24.03.2010	1514,58	0,993193	-0,00683
23.03.2010	1524,96	0,999587	-0,00041
22.03.2010	1525,59	0,987622	-0,01245
19.03.2010	1544,71	0,990961	-0,00908
18.03.2010	1558,8	0,997019	-0,00299
17.03.2010	1563,46	1,017354	0,017205
16.03.2010	1536,79	1,014785	0,014677
15.03.2010	1514,4	0,986786	-0,0133
12.03.2010	1534,68	1,020372	0,020167
11.03.2010	1504,04	1,001758	0,001757
10.03.2010	1501,4	0,999135	-0,00087
09.03.2010	1502,7	0,996347	-0,00366
05.03.2010	1508,21	1,025707	0,025382
04.03.2010	1470,41	1,006992	0,006968
03.03.2010	1460,2	1,010086	0,010035
02.03.2010	1445,62

Скользящая средняя равна 0,004206.

Шаг 4. Найдите 20-дневную дисперсию выборки данных из шага 2. Для этого необходима 20-дневная скользящая средняя (см. шаг 3). Далее, для каждого из 20 последних дней вычтем скользящую среднюю из значений шага 2.

Теперь возведем в квадрат полученные значения, чтобы преобразовать все отрицательные ответы в положительные. После этого сложим все значения за последние 20 дней. Наконец, разделим найденную сумму на 19 и получим дисперсию по выборке данных за последние 20 дней. 20-дневная дисперсия для 100303 составляет 0,00012481.

Шаг 5. После того как вы определили 20-дневную дисперсию для конкретного дня, необходимо преобразовать ее в 20-дневное стандартное отклонение. Это легко сделать путем извлечения квадратного корня из дисперсии. Таким образом, для 100303 квадратный корень дисперсии даст нам 20-дневное стандартное отклонение 0,01117183.

Шаг 6. Теперь преобразуем полученные данные в «годовые». Так как мы используем дневные данные и исходим из того, что по РТС в году 252 торговых дня (примерно), умножим ответы из шага 5 на квадратный корень 252, то есть на 15,87450787. Для 100303 20-дневное стандартное отклонение по выборке составляет 0,01117183. Умножив его на 15,87450787, получаем 0,177347308. Это значение является исторической волатильностью, в нашем случае — 17,73%.

Пример расчета коэффициентов бета, альфа и Шарпа:

Бета показывает уровень риска ПИФа в сравнении с индексом. Например, значение 0,5 говорит о том, что растет и падает ПИФ на половину меньше, чем индекс (индекс вырос +1% — ПИФ вырос +0,5%, индекс упал на 2% — ПИФ упал на 1%). С бетой = 2 ПИФ удваивал бы любое колебание индекса.

Альфа показывает превышение доходности (вследствие мастерства управления) ПИФа над доходностью индекса (доходность индекса корректируется на бету ПИФа для этого сравнения). Например, если бета = 1 («ноздря в ноздрю», индексный ПИФ), то альфа равная 0,4 означает, что ПИФ переиграл индекс на 0,4%. При бета 0,5 альфа 0,4 говорит о том, что ПИФ показал доходность равную половине доходности индекса плюс 0,4%.

Коэффициент Шарпа показывает доходность, полученную на одну условную единицу риска. Риск ПИФов всех категорий измеряется в универсальных условных единицах (стандартное отклонение). Доходность для расчета коэффициента Шарпа берется только та, что получается с риском. Для этого из реальной доходности ПИФа вычитается доходность безрискового актива — депозита в Сбербанке. Оставшаяся доходность делится на количество «потраченных» на её получение единиц риска. С помощью этого коэффициента можно сравнить мастерство управления ПИФами как одной, так и разных категорий: если ПИФ облигаций на каждую из немногих единиц риска получил большую доходность, чем ПИФ акций на каждую из единиц риска, которых у него больше, то ПИФ облигаций управляется лучше, хотя он получает меньшую суммарную доходность.

Для расчета коэффициента (помимо ежедневной стоимости пая) необходимо выбрать:

— безрисковый актив — актив, доходность по которому заранее известна и риски, связанные с получением этой доходности малы, а период обращения данного актива равен (или близок) периоду, за который проводится оценка. В качестве безрискового актива берется двухгодовой вклад в рублях Сбербанка России — «Накопительный».

— параметр сглаживания — позволяет наиболее точно отразить субъективную временную оценку наблюдений, т. е. снизить влияние наблюдений за деятельностью компаний, произведенных достаточно давно. Принимает значения от 0 до 1. Предлагается положить его, традиционно, равным 0.94.

От величины коэффициента сглаживания зависит то, как сильно будет сглажено влияние на результат более отдаленных наблюдений по отношению к менее отдаленным. Т.е., чем ближе коэффициент к 0, тем меньшее влияние отдаленных наблюдений. И наоборот: чем ближе коэффициент к 1, тем больше влияние отдаленных наблюдений.

Методики расчета коэффициента Шарпа:

Допустим, у нас есть кривая эквити (текущая прибыль или убыток по открытым позициям +/- своп. Своп (Swap) – одновременная продажа и покупка одного количества определенной валюты с разными датами валютирования. Обычно, свопирование производится при переносе открытой позиции на следующий день. Свопировать открытую валютную позицию – означает сохранить состояние позиции (размер и знак) на определенный срок в будущем) за несколько месяцев. Доходность за конкретный месяц определяется по формуле:

Pn – доходность за n-ный месяц.

Eo – эквити на момент открытия месяца.

Ec – эквити на момент закрытия месяца,

Имея эквити, мы можем получить набор доходностей по месяцам. Пусть, для примера, набор будет таким:

период	доходность за месяц
23.04-22.05	1,270739798	0,198718571	0,03948907
22.05-22.06	0,771721484	-0,300299743	0,09017994
22.06-22.07	1,118099988	0,04607876	0,00212325
22.07-21.08	1,137465906	0,065444679	0,00428301
21.08-21.09	1,078794388	0,006773161	4,5876E-05
21.09-21.10	1,183038115	0,111016888	0,01232475
21.10-20.11	0,958390154	-0,113631074	0,01291202
20.11-18.12	1,015705304	-0,056315923	0,00317148
18.12-18.01	1,203006763	0,130985536	0,01715721
18.01-18.02	0,917570058	-0,154451169	0,02385516
18.02-18.03	1,081313618	0,009292391	8,6349E-05
18.03-16.04	1,12840915	0,056387923	0,0031796

Можно также в качестве набора доходностей использовать прибыли по сделкам – не обязательно чтобы доходность считалась именно по месяцам. Однако общепринятым способом является вычисление Шарпа по набору месячных доходностей.

Определим матожидание (средний уровень ряда):

Рассчитаем дисперсию (таблица выше).

Рассчитаем стандартное отклонение:

Вычисление коэффициента Шарпа основано на формуле:

Существует 3 варианта расчета коэффициента Шарпа:

1. The Sharpe Ratio. William F. Sharpe. Stanford University. 1994.

В этом случае исходный массив подвергается простому преобразованию: из него вычитается безрисковая ставка. Затем применяется основная формула.

Вклад «Накопительный» Сбербанка России предлагает ставку 5,75% годовых на период до 1 года (сумма вклада от 30000 до 100000 руб.).

Вычислим превышение доходности над безрисковой ставкой:

доходность за месяц	безрисковая ставка	превышение
1,270739798	0,479166667	0,791573131
0,771721484	0,479166667	0,292554817
1,118099988	0,479166667	0,638933321
1,137465906	0,479166667	0,658299239
1,078794388	0,479166667	0,599627721
1,183038115	0,479166667	0,703871448
0,958390154	0,479166667	0,479223487
1,015705304	0,479166667	0,536538637
1,203006763	0,479166667	0,723840096
0,917570058	0,479166667	0,438403392
1,081313618	0,479166667	0,602146951
1,12840915	0,479166667	0,649242484

Находим матожидание и стандартное отклонение:

Тогда коэффициент Шарпа:

S=4,494335804.

2. Modified Sharpe Ratio.

Находим матожидание и стандартное отклонение набора доходностей.

Пересчитываем доходность на год, для чего матожидание E умножаем на число периодов в году:

E_год = 1,072021227 * 12 = 12,86425472.

Вычисляем превышение прибыли над безрисковой ставкой, по формуле:

Превышение прибыли = E_год – безрисковая ставка

Превышение прибыли = 12,86425472 – 5,75 = 7,114254724.

Стандратное отклонение тоже пересчитываем на год, по формуле:

σ_год = 0,1319115 * 3,464 = 0,456954827.

Вычисляем коэффициент Шарпа:

S = Превышение прибыли / σ_год = 3,250893038.

3. Annual Sharpe Ratio.

Рассматриваем значения счета и доходность по месяцам.

период	доходность за месяц	Закрытие
23.04-22.05	1,270739798	3424,72
22.05-22.06	0,771721484	2642,93
22.06-22.07	1,118099988	2955,06
22.07-21.08	1,137465906	3361,28
21.08-21.09	1,078794388	3626,13
21.09-21.10	1,183038115	4289,85
21.10-20.11	0,958390154	4111,35
20.11-18.12	1,015705304	4175,92
18.12-18.01	1,203006763	5023,66
18.01-18.02	0,917570058	4609,56
18.02-18.03	1,081313618	4984,38
18.03-16.04	1,12840915	5624,42

Первое значение эквити обозначим как FirstClose, последнее – LastClose.

Находим количество дней между FirstClose и LastClosе. Оно равно 226. Находим долю этого периода в году: 226/365 = 0,619178082.

Пересчитываем доходность на год по формуле:

G = (LastClose/FirstClose)^(1/YearPart) — 1

G = (5624,42 / 3424,72)^(1/0,619178082) – 1 = 1,228258653.

Вычисляем превышение над безрисковой ставкой:

GE = G — RiskFreeRate

GE = 1,228258653 — 0.0575 = 1,170758653.

Теперь надо вычислить стандартное отклонение, получаем:

Пересчитываем стандартное отклонение за год:

σ_год = 0,1319115 * 3,464 = 0,456954827.

Источник