Риск портфеля максимальной доходности равен

Составление инвестиционного портфеля по Марковицу для чайников

В данном обзоре мы представим простой пример составления оптимального инвестиционного портфеля по Марковицу.

Введение в портфельную теорию

Портфельная теория Марковица была обнародована в 1952 году. Позже автор получил за нее Нобелевскую премию.

Целью модели является составление оптимального портфеля, то есть с минимальным риском и максимальной доходностью.

Как правило, решается две задачи: максимизация доходности при заданном уровне риска и минимизация риска при минимально допустимом значении доходности.

Доходность портфеля измеряется как средневзвешенная сумма доходностей входящих в него бумаг.

wi — доля инструмента в портфеле;

ri — доходность инструмента.

Риск отдельного инструмента оценивается как среднеквадратичное (стандартное) отклонение его доходности. Для расчета общего риска портфеля необходимо отразить совокупное изменение рисков отдельного инструмента и их взаимное влияние (через ковариации и корреляции — меры взаимосвязи).

σi — стандартное отклонение доходностей инструмента;

kij — коэффициент корреляции между I,j-м инструментом;

Vij — ковариация доходностей i-го и j-го финансового инструмента;

n — количество финансовых инструментов в рамках портфеля.

Таким образом, в рамках правильно подобранного портфеля риски снижаются за счет обратной корреляции инструментов. При этом устраняются не только специфические риски инструмента, но и снижается систематический (рыночный) риск.

Для составления портфеля решается оптимизационная задача. При этом в базовом виде использование заемных средств не предполагается, то есть сумма долей активов равняется единице, а доли эти положительны.

Минимизируем риск при минимально допустимом уровне доходности

Максимизируем доходность при заданном уровне риска

Пример расчетов в Excel

Оптимальный портфель содержит различные группы активов — акции, облигации, товарные фьючерсы и т.д. Так легче подобрать инструменты с отрицательной корреляцией и минимизировать риски.

В нашем примере будет использован более простой подход — составление портфеля из нескольких американских акций. Для эффекта диверсификации возьмем представителей различных секторов — платежную систему VISA, ритейлера Macy’s, технологичного гиганта Apple и телеком AT&T.

Сразу отмечу, что это лишь пример. Все эмитенты интересны, но для грамотного составления портфеля необходимо учитывать фундаментальные показатели, включая рыночные мультипликаторы, оценивать технические уровни для входа в позицию.
Этап 1. Выкачиваем котировки. Необходимо взять данные минимум за год. В нашем примере были взяты ежемесячные цены закрытия с 31.06.2017 по 31.05.2018.
Этап 2. Считаем доходности по каждой бумаге. Для простоты не будем учитывать эффект дивидендов.

Считаем доходность за каждый месяц по формуле натурального логарифма. К примеру, доходность VISA за май 2018 = LN(C14/C13)

Для расчета ожидаемой доходности берем среднее значение за рассматриваемый период. В нашем случае это год. Ожидаемая доходность VISA = СРЗНАЧ(G3:G14)

Получаем отрицательную доходность AT&T, и убираем бумагу из портфеля. Сразу отмечу, что в этом заключается недостаток модели, ведь просевшие ранее акции в перспективе могут развернуться.
Этап 3. Расчет риска каждой акции. Производится по формуле стандартного отклонения. К примеру, риск VISA =СТАНДОТКЛОН(G3:G14)

Указываем окне входной интервал — ежемесячные доходности акций, а в опции «Группирование» выбираем «по столбцам».

В результате получаем ковариационную матрицу.

Этап 5. Расчет общей доходности портфеля. Для начала установим произвольные доли бумаг в портфеле. Они положительны, их сумма равна 1.

Считаем средневзвешенное значение доходностей отдельных акций. Воспользуемся формулой G15*G23+H15*H23+I15*I23

Этап 6. Расчет общего риска портфеля. Производится по формуле массива КОРЕНЬ(МУМНОЖ(МУМНОЖ(G23:I23;G20:I22); E20:E22))

Этап 7. Портфель минимального риска.

Речь идет о долях отдельных бумаг в портфеле. Для начала необходимо определить минимальный уровень допустимой доходности портфеля (rp). Возьмем rp >= 3,2%.

При оценке долей акций воспользуемся надстройкой в Excel «Поиск решений», для этого выбираем Главное меню → «Данные» → «Поиск решений».

В надстройке «Поиск решений» необходимо ввести ссылку на ячейку, которую следует оптимизировать (общий риск портфеля, минимизируем), ввести какие параметры необходимо изменять (доли акций) и ограничения. Введем ограничения на весовые значения коэффициентов у акций: сумма долей акций должна быть равна 1 и сами доли должны иметь положительный знак.

В результате имеем портфель с 73% долей VISA и 27% долей Macy’s.

Визуально портфель выглядит так:

Этап 8. Портфель максимальной доходности.

Для начала необходимо определить максимальный уровень допустимого риска портфеля (σp). Возьмем σp 30

Последние новости

Рекомендованные новости

События недели. Главное с БКС Экспресс

Итоги торгов. Удерживаться на рекордных уровнях становится все труднее

Анализ эмитента. Intel — ведущий производитель процессоров

Американские коммунальщики. Отрасль с высокими дивидендами

Адрес для вопросов и предложений по сайту: bcs-express@bcs.ru

Copyright © 2008–2021. ООО «Компания БКС» . г. Москва, Проспект Мира, д. 69, стр. 1
Все права защищены. Любое использование материалов сайта без разрешения запрещено.
Лицензия на осуществление брокерской деятельности № 154-04434-100000 , выдана ФКЦБ РФ 10.01.2001 г.

Данные являются биржевой информацией, обладателем (собственником) которой является ПАО Московская Биржа. Распространение, трансляция или иное предоставление биржевой информации третьим лицам возможно исключительно в порядке и на условиях, предусмотренных порядком использования биржевой информации, предоставляемой ОАО Московская Биржа. ООО «Компания Брокеркредитсервис» , лицензия № 154-04434-100000 от 10.01.2001 на осуществление брокерской деятельности. Выдана ФСФР. Без ограничения срока действия.

* Материалы, представленные в данном разделе, не являются индивидуальными инвестиционными рекомендациями. Финансовые инструменты либо операции, упомянутые в данном разделе, могут не подходить Вам, не соответствовать Вашему инвестиционному профилю, финансовому положению, опыту инвестиций, знаниям, инвестиционным целям, отношению к риску и доходности. Определение соответствия финансового инструмента либо операции инвестиционным целям, инвестиционному горизонту и толерантности к риску является задачей инвестора. ООО «Компания БКС» не несет ответственности за возможные убытки инвестора в случае совершения операций, либо инвестирования в финансовые инструменты, упомянутые в данном разделе.

Информация не может рассматриваться как публичная оферта, предложение или приглашение приобрести, или продать какие-либо ценные бумаги, иные финансовые инструменты, совершить с ними сделки. Информация не может рассматриваться в качестве гарантий или обещаний в будущем доходности вложений, уровня риска, размера издержек, безубыточности инвестиций. Результат инвестирования в прошлом не определяет дохода в будущем. Не является рекламой ценных бумаг. Перед принятием инвестиционного решения Инвестору необходимо самостоятельно оценить экономические риски и выгоды, налоговые, юридические, бухгалтерские последствия заключения сделки, свою готовность и возможность принять такие риски. Клиент также несет расходы на оплату брокерских и депозитарных услуг, подачи поручений по телефону, иные расходы, подлежащие оплате клиентом. Полный список тарифов ООО «Компания БКС» приведен в приложении № 11 к Регламенту оказания услуг на рынке ценных бумаг ООО «Компания БКС». Перед совершением сделок вам также необходимо ознакомиться с: уведомлением о рисках, связанных с осуществлением операций на рынке ценных бумаг; информацией о рисках клиента, связанных с совершением сделок с неполным покрытием, возникновением непокрытых позиций, временно непокрытых позиций; заявлением, раскрывающим риски, связанные с проведением операций на рынке фьючерсных контрактов, форвардных контрактов и опционов; декларацией о рисках, связанных с приобретением иностранных ценных бумаг.

Приведенная информация и мнения составлены на основе публичных источников, которые признаны надежными, однако за достоверность предоставленной информации ООО «Компания БКС» ответственности не несёт. Приведенная информация и мнения формируются различными экспертами, в том числе независимыми, и мнение по одной и той же ситуации может кардинально различаться даже среди экспертов БКС. Принимая во внимание вышесказанное, не следует полагаться исключительно на представленные материалы в ущерб проведению независимого анализа. ООО «Компания БКС» и её аффилированные лица и сотрудники не несут ответственности за использование данной информации, за прямой или косвенный ущерб, наступивший вследствие использования данной информации, а также за ее достоверность.

Источник

Доходность и риск инвестиционного портфеля

Тема 1: Доходность и риск инвестиционного портфеля.

Формируя инвестиционный портфель, необходимо оценить его риск и доходность.

Для определения доходности портфеля, состоящего из N количества ценных бумаг в конце периода n, можно использовать следующую формулу:

, (1)

где Di –доля конкретного вида ценных бумаг в портфеле в момент его формирования;

ri –ожидаемая (или фактическая) доходность i—той ценной бумаги;

N — количество ценных бумаг в портфеле.

Риск портфеля измеряется среднеквадратическим отклонением фактической доходности портфеля от ожидаемой и определяется по формуле:

, (2)

где — среднеквадратическое отклонение портфеля;

, — доля активов i и j в начальной стоимости портфеля;

— ковариация (взаимодействие или взаимозависимость) ожидаемых доходностей i-го и j-го активов.

Ковариация ожидаемых доходностей рассчитывается по формуле:

, (3)

где Corij – коэффициент корреляции между ожидаемыми доходностями активов;

,— среднеквадратическое отклонение доходности i—го и j-го активов соответственно.

Оценить риск инвестиционного портфеля при вводе в его состав безрискового актива (как правило, безрисковыми активами являются ценные бумаги, эмитируемые государством)можно посредством следующей формулы:

, (4)

где — риск портфеля вследствие включения в его состав безрискового актива;

Dn – доля, занимаемая прежним портфелем в формируемом;

— риск прежнего портфеля.

Приведенная формула свидетельствует о том, что введение в портфель безрискового актива снижает совокупный риск портфеля (однако при этом будет снижаться и доходность). Поэтому инвестор, негативно относящийся к риску, выбирает большую долю безрисковых активов в инвестиционном портфеле, платой за это является некоторая потеря в доходности.

Чем выше инвестор оценивает риск проекта, тем более высокие требования он обычно предъявляет к его доходности. Это может быть отражено в расчетах путем соответствующего увеличения нормы дисконта – включения в нее премии за риск.

Существует две группы методов – агрегированные и пофакторные (кумулятивные), учитывающие риск сразу целиком и каждый вид риска в отдельности соответственно.

Метод бета-коэффициента для расчета нормы дисконта использует модель оценки оценки капитальных активов (САРМ):

, i = 1,2,…,n, (5)

где — ожидаемая (требуемая) доходность i— го рискованного актива;

— безрисковая ставка дохода;

-общая доходность рынка в целом (среднерыночного портфеля ценных бумаг).

— бета коэффициент рискованных активов i-го вида, i=1,2,…,n (6).

Равновесный рынок рискованных активов удовлетворяет модели оценки финансовых активов в одном из следующих случаев:

1) рынок является совершенным;

2) рынок является почти совершенным, а инвесторы не склонны к риску.

Прямая, заданная уравнением

, (7), где r— требуемая инвестором ставка дохода (на собственный капитал) — называется линией рынка рискованных активов.

Среднерыночная доходность должна рассматриваться как известная абстракция, поскольку полная информация о доходности всех обращающихся на рынке акций обычно отсутствует. На практике этот показатель рассчитывают по ограниченному числу представительных ценных бумаг, например, по акциям «голубых фишек». Обычно коэффициент лежит в пределах от 0 до 2. Для рынка в целом коэффициент равен 1.

Интерпретация бета-коэффициента для акций конкретной компании заключается в следующем:

=1, означает, что акции данной компании имеют среднерыночную степень риска;

1, означает, что ценные бумаги данной компании более рискованны, чем в среднем на рынке. [1]

Пример: Рассматривается целесообразность инвестирования в акции компании А, имеющей β=1,6, или компании Б, имеющей β=0,9, если rf=6%; rm= 12%. Инвестиция делается в том случае, если доходность составляет не менее 15%.

Необходимые для принятия решения оценки можно рассчитать с помощью модели САРМ. По формуле (5) находим:

для компании А: ,

для компании В: .

Таким образом, инвестиции в акции компании А более целесообразны.

Важным свойством модели САРМ является ее линейность относительно степени риска. Это дает возможность определить -коэффициент портфеля, как средневзвешенную -коэффициентов входящих в портфель финансовых активов.

, (8) где

— значение бета-коэффициента i-го актива в портфеле;

— значение бета-коэффициента портфеля;

— доля i-го актива в портфеле;

n – число различных финансовых активов в портфеле.

Пример: Портфель включает следующие активы:

12% акции компании А, имеющие β =1;

18% акции компании В, имеющие β =1,2;

25% акции компании С, имеющие β =1,8;

45% акции компании D, имеющие β =0,7.

Тогда β-коэффициент инвестиционного портфеля будет равен:

Метод бета-коэффициента используется при установлении нормы дисконта для денежного потока только собственного капитала. Если необходимо установить норму дисконта для денежного потока всего инвестированного капитала, используют метод средневзвешенной стоимости капитала(WACC). В наиболее простом случае, когда в структуре инвестированного капитала вычленяются только собственные и заемные средства (без их дальнейшего подразделения), расчетная формула нормы дисконта имеет следующий вид:

, (9)

где — стоимость собственного капитала (требуемая отдача на акции);

— стоимость заемного капитала (ставка процента по займу);

,— доли собственного и заемного капитала в общем капитале проекта.

Ожидаемая доходность рыночного портфеля =14%, а стандартное отклонение его доходности = 40%.

Определить бета-коэффициент рискованного актива, если ковариация между доходностью этого актива и доходностью рыночного портфеля равна:

Ответ: а)β=; r=13,56%; б) β=; r=15,75%; в)β=; r=2,63%.

Ожидаемая доходность рыночного портфеля =12%, стандартное отклонение его доходности = 50%, безрисковая процентная ставка =6%. Определить ковариацию между доходностью рискованного актива и доходностью рыночного портфеля, если ожидаемая равновесная доходность этого актива равна:

Ответ: а) cov (rm, r)= ; б) cov (rm, r)= ; в) cov (rm, r)= .

Построить линию рынка рискованных активов, если =12% и rf = 8%. Определить равновесную ожидаемую доходность рискованного актива, если его бета-коэффициент равен

Найти бета-коэффициент рискованного актива, если =16% и rf =7%, а равновесная ожидаемая доходность равна:

Ответ: а)β=; б) β=; в)β=.

На рынке имеются рискованные активы трех видов. Информация о рынке следующая (таблица 1):

Источник