Формула средней геометрической доходности

Курс лекций «Основы финансового менеджмента»

5.2. Определение средней доходности

В практике финансовых расчетов часто возникает необходимость расчета средней доходности набора (портфеля) инвестиций за определенный период или средней доходности вложения капитала за несколько периодов времени (например, 3 квартала или 5 лет). В первом случае используется формула среднеарифметической взвешенной , в которой в качестве весов используются суммы инвестиций каждого вида. Вернемся к примеру из предыдущего параграфа с вложением 1000 рублей в два вида деятельности: торговую и финансовую. Можно сказать, что владелец этих денег сформировал инвестиционный портфель, состоящий из двух инструментов – инвестиции в собственный капитал магазина и финансовые (спекулятивные) инвестиции. Сумма каждого из вложений составила 500 рублей. Доходность по первому направлению вложений составила 10%, по второму – 40% годовых. Применив формулу средней арифметической (в данном случае, ввиду равенства весов, можно использовать среднюю арифметическую простую) получим среднюю доходность инвестиций за год, равную 25% ((10 + 40) / 2). Она в точности соответствует полной доходности “портфеля”, рассчитанной в предыдущем параграфе. Если бы владелец изменил структуру своих инвестиций и вложил в торговлю только 300 рублей (30%), а в финансовые спекуляции 700 рублей (70%), то при неизменных уровнях доходности каждого из направлений средняя доходность его “портфеля” составила бы 31% (10 * 0,3 + 40 * 0,7). Следовательно, общую формулу расчета средней доходности инвестиционного портфеля можно представить следующим образом:

, где (5.2.1)

n – число видов финансовых инструментов в портфеле;

r i – доходность i -го инструмента;

w i – доля (удельный вес) стоимости i -го инструмента в общей стоимости портфеля на начало периода.

Реальный срок вложения капитала может принимать любые значения – от одного дня до многих лет. Для обеспечения сопоставимости показателей доходности по инвестициям различной продолжительности эти показатели приводятся к единой временной базе – году (аннуилизируются). Методика аннуилизации доходности была рассмотрена в предыдущем параграфе. Однако, годовая доходность одних и тех же инвестиций может быть неодинаковой в различные промежутки времени. Например, доходность владения финансовым инструментом (за счет прироста его рыночной цены) составила за год 12%. В течение второго года цена увеличилась еще на 15%, а в течение третьего – на 10%. Возникает вопрос: чему равна средняя годовая доходность владения инструментом за 3 года? Так как годовая доходность суть процентная ставка, средняя доходность за период рассчитывается по формулам средних процентных ставок. В зависимости от вида процентной ставки (простая или сложная) ее средняя величина может определяться как среднеарифметическая, взвешенная по длительности периодов, в течение которых она оставалась неизменной, или как среднегеометрическая , взвешенная таким же образом (см. § 2.2).

В принципе возможно применение обоих способов для определения средней за несколько периодов доходности. Например, среднеарифметическая доходность инструмента, о котором говорилось выше, составит за три года 12,33% ((12 + 15 + 10) / 3). В данном случае продолжительность периодов, в течение которых доходность оставалась неизменной (год), не менялась, поэтому используется формула простой средней. Применив формулу средней геометрической, получим r ср = 12,315% (((1 + 0,12) * (1 + 0,15) * (1 + 0,1)) 1/3 -1). При незначительной разнице в результатах, техника вычисления среднеарифметической доходности значительно проще, чем среднегеометрической, поэтому довольно часто используется более простой способ расчета.

Однако при этом допускается существенная методическая ошибка : игнорируется цепной характер изменения доходности от периода к периоду. Доходность 12% была рассчитана к объему инвестиций на начало первого года, а доходность 15% — к их величине на начало следующего года. Эти величины не равны друг другу, так как в течение первого года инвестиции подорожали на 12%. За второй год они стали дороже еще на 15%, то есть их объем на начало третьего года также отличался от двух предыдущих сумм. Применяя формулу средней арифметической, молчаливо предполагают, что объем инвестиций оставался неизменным в течение всех периодов, то есть по сути рассчитывается средний базисный темп прироста. В данном случае это предположение совершенно неверно, поэтому следует рассчитывать средний цепной темп прироста по формуле средней геометрической, так как начальная сумма инвестиций меняется от периода к периоду. Представим исходные данные примера в табличной форме (табл. 5.2.1).

Таблица 5.2.1
Динамика доходности акции за 3 года
руб.

Источник

Как посчитать реальную среднегодовую доходность ваших инвестиций?

Есть два способа подсчета доходности инвестиций: ср. арифметический и ср. геометрический. Первый способ показывает завышенные результаты. Чем сильнее колеблется цена актива по годам, тем сильнее будут отличаться эти доходности.

Зачастую управляющие показывают только ср. арифметическую доходность, чтобы завлечь инвесторов. Последние «покупаются», вкладываются, а затем их доходность оказывается гораздо ниже, чем они ожидали, судя по рекламе.

Пример. Фонд в первый год получил + 100%, во второй -50% доходности. Ср. арифм. доходность равна (100-50)/2= 25%. А ср. геом. доходность равна (1+100/100)*(1-50/100)-1 = 2*0,5-1= 0. То есть управляющий вам говорит в рекламе: «Наша средняя доходность 25%». А в реальности, если бы вы вложили на два года деньги, то получили бы 0% доходности.

Можно проверить это «на пальцах»:

• вкладываете 100 руб. С учетом доходности 100%, на счете 200 руб. в конце года;
• на второй год -50%. Т.е. 200 руб. — 100 руб. = 100 руб. Заработали 0.

Для того, чтобы не обмануться при подсчете доходности и не «повестись» на недобросовестную рекламу, нужно рассчитывать ср. геометрическую доходность.

Шаг. 1.Поделите конечную стоимость актива на начальную, или конечную доходность на начальную

Шаг 2. Получившееся число подставьте в он-лайн калькулятор корней

Шаг 3. В качестве корня задайте количество лет

Шаг 4. Вычтите 1 (единицу)

Пример. Страховая компания гарантируют вам 140% доходности за 15 лет инвестиций в структурный продукт (индекс S&P 500). Какова же ср. годовая гарантированная доходность ваших инвестиций?

Ответ: Исчисляем ср. геометрическую доходность. Делим 140/100 = 1,4. Подставляем 1,4 в калькулятор корней, в качестве корня указываем количество лет — 15. Получаем число 1,0227. Вычитаем 1(единицу), получаем 0,0227, что в переводе в % будет означать 2,27% в год.

Если у вас есть данные о доходности по каждому году, а вам нужно посчитать ср. геом. доходность за весь период, формула будет более сложной.Лучше посчитать в Excel.

Ср. геом. доходность по годам =СТЕПЕНЬ (((1+R1)*(1+R2)..*(1+Rn));1/N)-1

где R — доходность в году в формате десятых и сотых (например, вместо 25% нужно писать 0,25), n — кол-во лет.

Как посчитать разницу между ср. арифм. и ср. геом. доходностью

Это нужно для тех, кто строит прогнозы на будущее. Примерно эти доходности отличаются на величину = 0,5 * (стандартное отклонение цены актива)² .Стандартное отклонение берется в формате десятых и сотых (например, 0,25).

Стандартное отклонение — это и есть риск актива. Иными словами риск актива — это до каких пределов в среднем может колебаться цена актива. Например, от +25% до — 25%. Акции более рискованны, чем облигации, потому что их цена может колебаться в + или в — на больший %.

Источник

CFA — Среднее геометрическое и меры центральной тенденции

Рассмотрим среднее геометрическое, — меру центральной тенденции, широко использующуюся для усреднения ставок доходности, — в рамках изучения количественных методов по программе CFA.

Среднее геометрическое значение чаще всего используется для усреднения темпов изменения во времени или для расчета скорости роста переменной.

В инвестициях мы часто используем среднее геометрическое для усреднения временного ряда ставок доходности актива или портфеля или для расчета темпов роста финансового показателя, такого как прибыль или выручка.

Например, в разделе, посвященному временной стоимости денег, мы вычислили темп роста продаж компании Hyundai Steel. Этот темп роста был средним геометрическим значением.

Из-за важности этой концепции в следующем разделе мы вернемся к использованию среднего геометрического и рассмотрим практические перспективы его использования. Среднее геометрическое определяется по следующей формуле.

Формула среднего геометрического.

Среднее геометрическое значение G (англ. ‘geometric mean’) множества наблюдений X₁, X₂, . X_n равно

где X_i ≥ 0 для i = 1,2, . n.

Уравнение Формулы 5 имеет решение, и геометрическое среднее существует, только если произведение под знаком корня неотрицательно. Мы налагаем это ограничение таким образом, чтобы все наблюдения X_i в Формуле 5 были больше или равны нулю.

Мы можем найти геометрическое среднее, используя Формулу 5, напрямую, при помощи любого калькуляторс с клавишей возведения в степень (у большинства финансовых калькуляторов это клавиша y x ).

Мы также можем найти среднее геометрическое, используя натуральные логарифмы.

Формулу 5 также можно представить в следующем виде:

Если мы вычислили ln G, то G = e lnG (на большинстве калькуляторов клавишей для этого шага является e x ).

Рискованные активы могут иметь отрицательную доходность до -100% (если их цена падает до нуля), поэтому мы должны позаботиться об определении соответствующих переменных для усреднения при вычислении среднего геометрического.

Мы не можем просто рассчитать произведение ставок доходности выборки и затем взять n-ный корень, потому что доходность за любой период может быть отрицательной.

Мы должны пересмотреть результат расчета так, чтобы произведение ставок доходности под знаком корня было положительным. Мы делаем это, добавляя 1.0 к ставкам доходности, выраженным в десятичных числах.

Выражение (1 + R_t) означает доход на конец года относительно начальной суммы инвестиций на начало года. Если мы используем выражение (1 + R_t), наблюдения никогда не будут отрицательными, потому что отрицательный доход не может составлять менее -100% (т.е. менее -1).

Результатом будет среднее геометрическое 1 + R_t; затем вычитая 1.0 из этого результата, мы получаем среднее геометрическое для отдельных ставок доходности Rt.

Например, доходность Индексного фонда RBC за период 2008-2012 гг. из Таблицы 13 можно представить в десятичной форме как:

-0.331, 0.341, 0.168, -0.092, и 0.064.

Добавление 1.0 к этим ставкам дает:

0.669, 1.341, 1.168, 0.908 и 1.064.

Используя Формулу 5, мы получим:

Полученное число равно 1 плюс среднее геометрическое ставки доходности. Вычитая 1.0 из этого результата, мы получаем 1.002455 — 1.0 = 0.002455 или примерно 0.25%.

Среднегеометрическая доходность Канадского индексного фонда RBC за период 2008-2012 годов составила 0,25 процента.

Уравнение, которое суммирует вычисление среднего геометрического доходности (или геометрической ставки доходности), RG, является слегка измененной версией Формулы 5, в которой X_i представляет собой выражение: «1 + ставка доходности в десятичной форме».

Поскольку среднее геометрическое доходности использует временные ряды, мы используем подстрочный индекс t для обозначения временного периода.

Это приводит к следующей формуле.

Формула среднегеометрической доходности.

Для данного временного ряда ставок доходности R_t, t = 1, 2, . T среднегеометрическая доходность (или геометрическая ставка доходности, от англ. ‘geometric mean return’ или ‘time-weighted return’) за период времени, охватывающий ставки доходности от R₁ до R_T, равна:

Мы можем использовать Формулу 6 для расчета среднегеометрической доходности любого ряда ставок. Среднегеометрическая доходность также называется накапливаемой [сложной] доходностью (от англ. ‘compound return’).

Например, если усредненные результаты в Формуле 6 имеют месячную периодичность, мы можем назвать полученную ставку накапливаемой или сложной месячной доходностью.

Следующий пример иллюстрирует вычисление среднего геометрического, а также сравнение среднего геометрического и среднего арифметического.

Пример (1) расчета и сравнения среднегеометрической и среднеарифметической доходности.

Как аналитик взаимных фондов, вы изучаете совокупную доходность двух инвестиционных фондов за последние 5 лет, по состоянию на начало 2013 года.

Таблица 15. Совокупная доходность двух взаимных фондов, 2008-2012 гг.

Фонд Selected
American Shares
(SLASX)

Фонд T. Rowe Price
Equity Income
(PRFDX)

Основываясь на данных из Таблицы 15, сделайте следующее:

1. Рассчитайте среднегеометрическую доходность SLASX.
2. Рассчитайте среднее арифметическое доходности SLASX и сопоставьте ее со среднегеометрической доходностью фонда.
3. Рассчитайте среднегеометрическую доходность PRFDX.
4. Рассчитайте среднее арифметическое доходности PRFDX и сопоставьте ее со среднегеометрической доходностью фонда.

Решение для части 1:

Сначала преобразуем ставки доходности SLASX в десятичную форму и добавим 1.0 к каждой ставке: 0,6056, 1,3164, 1,1253, 0,9565 и 1,1282.

Используем Формулу 6, чтобы найти среднегеометрическую доходность SLASX:

Решение для части 2:

\(\mathbf < \begin\overline R &= (-39.44 + 31.64 + 12.53 — 4.35 +12.82) / 5 \\ &= 13.20/5 = 2.64\% \end >\)

Среднее арифметическое доходности SLASX превышает среднегеометрическую доходность на 2.64 — (-0.65) = 3.29% или 329 базисных пунктов.

Решение для части 3:

Преобразовав ставки доходности PRFDX в десятичную форму и прибавив 1.0 к каждой из них, мы получим: 0.6425, 1.2562, 1.1515, 0.9928 и 1.1725.

Используем Формулу 6, чтобы найти среднее геометрическое значение доходности PRFDX:

Решение для части 4:

\(\mathbf < \begin\overline R &= (-35.75 + 25.62 + 15.15 — 0.72 + 17.25)/5 \\ &= 21.55/5 = 4.31\% \end >\).

Среднее арифметическое для PRFDX превышает среднегеометрическую доходность на 4.31 — 1.59 = 2.72% или 272 базисных пункта.

В таблице ниже обобщены полученные результаты.

Таблица 16. Итоги расчета среднеарифметической и среднегеометрической доходности для взаимных фондов.

В приведенном примере для обоих взаимных фондов среднегеометрическая доходность была меньше среднеарифметической доходности. Фактически, геометрическое среднее всегда меньше или равно среднему арифметическому.

Неравенство Йенсена.

Это утверждение может быть доказано с помощью неравенства Йенсена (англ. ‘Jensen’s inequality’), которое означает, что среднее значение функции меньше или равно функции, вычисленной в среднем, если функция выпуклая вниз — в случае для ln(X).

Единственный момент, когда два средних значения будут равны, — это когда нет изменчивости в наблюдениях, то есть, когда все наблюдения совокупности одинаковы.

Например, предположим, что доходность за каждый год в течение 3-х лет составляет 10%. Среднее арифметическое составляет 10%. Чтобы найти среднее геометрическое, мы сначала выражаем результаты как (1 + Rt), а затем находим среднее геометрическое: [(1.10)(1.10)(1.10)]1/3 — 1.0 = 10%. Два средних значения одинаковы.

В приведенном выше примере наблюдалась изменчивость в доходности фондов; таким образом, для обоих фондов среднее геометрическое должно быть непременно меньше среднего арифметического.

В целом, разница между арифметическим и геометрическим средним возрастает вместе с изменчивостью наблюдений от периода к периоду.

В следующих разделах мы рассмотрим стандартное отклонение как меру изменчивости. При постоянной средней арифметической доходности средняя геометрическая доходность уменьшается на размер увеличения стандартного отклонения.

Эта взаимосвязь также иллюстрируется в рассмотренном выше примере. Случайная проверка показывает, что доходность SLASX несколько более изменчива, чем доходность PRFDX, и, следовательно, разброс между средней арифметической и геометрической доходностью больше для SLASX (329 базисных пунктов), чем для PRFDX (272 базисных пункта).

Мы введем формальные меры изменчивости позже. Но обратите внимание, например, на 71.08% в доходности между 2008 и 2009 годами для SLASX против 61.37% для PRFDX. Аналогичным образом, обратите внимание на колебание процентной ставки в 19.11% в период между 2009 и 2010 годами для SLASX против 10.47% для PRFDX.

Значения средней арифметической и среднегеометрической доходности не всегда должны ранжировать фонды одинаково, однако в этом примере PRFDX имеет как более высокую арифметическую, так и более высокую среднюю геометрическую доходность, чем SLASX.

Однако разница между средней геометрической доходностью двух фондов (2.24%) больше, чем разница между средней арифметической доходностью (1.67%).

Как финансовый аналитик должен интерпретировать эти результаты?

Среднегеометрическая доходность представляет собой темп роста или сложную норму прибыли от инвестиций. Один доллар, вложенный в SLASX в начале 2008 года, вырос бы (или, в данном случае, снизился бы) до (0.6056)(1.3164)(1.1253)(0.9565)(1.1282) = $0.9681, что равно 1 плюс средняя геометрическая доходность, начисленная по сложной ставке процента в течение 5 периодов:

[1 + (-0.006466)] 5 = (0.993534) 5 = $0.9681.

Это подтверждает, что среднее геометрическое является сложной процентной ставкой доходности.

Для PRFDX один доллар вырос бы до большей суммы (0.6425)(1.2562)(1.1515)(0.9928)(1.1725) = $1.0819, что равно (1.015861) 5 .

Так как среднее геометрическое фокусирует внимание на прибыльности инвестиций в течение нескольких последовательных периодов, оно представляет ключевой интерес для инвесторов. Среднеарифметическая доходность, ориентированная на средний доход за 1 период, также представляет интерес.

Как арифметические, так и геометрические средние играют серьезную роль в управлении инвестициями, и часто используются совместно при анализе доходности.

Приведенный ниже пример подчеркивает эти моменты в простом контексте.

Пример (2) средней геометрической и арифметической доходности.

Гипотетическая инвестиция в 1 акцию изначально составляет €100. Год спустя акции торгуются на уровне €200. В конце второго года цена акций опускается до первоначальной цены покупки в €100. В течение 2-летнего периода дивиденды не выплачиваются.

Рассчитайте арифметическую и геометрическую среднегодовую доходность.

Решение:

Во-первых, нам нужно найти годовую доходность за год 1 и год 2 по Формуле 1.

Доходность за год 1 = 200/100 — 1 = 100%
Доходность за год 2 = 100/200 — 1 = -50%

Среднее арифметическое годовой доходности составляет (100% — 50%)/2 = 25%.

Прежде чем мы найдем среднее геометрическое, мы должны преобразовать процентные ставки доходности в (1 + R_t). После этой корректировки среднее геометрическое по Формуле 6 составляет:

Средняя геометрическая доходность 0% точно отражает то, что конечная стоимость инвестиций в год 2 равна начальной стоимости в год 1. Сложная норма прибыли на инвестиции составляет 0%. Средняя арифметическая доходность отражает среднее значение за 1 год.

Источник