Распределение доходностей на рынке акций
Автор: Дмитрий Никитенко
Дата записи
Сегодня мы разберем очень интересную тему о распределении доходностей акций. Она раскрывает природу инвестиционного риска ещё глубже и позволяет лучше понять как именно работает фондовый рынок и чего от него следует ожидать.
Если вы ещё не читали статью про инвестиционный риск, стоит сначала прочитать в ней про стандартное отклонение.
Распределение доходностей на фондовых рынках принято сравнивать с кривой нормального распределения (по функции Гаусса). Хотя далее мы выясним, что реальное распределение доходностей не полностью соответствует этой кривой, она весьма неплохо описывает происходящее на рынке на длинных периодах времени.
Кривая нормального распределения. По оси X – стандартное отклонение, по оси Y – вероятность. Проценты – это частота попадания значения стандартного отклонения в закрашенную область под кривой. Источник: Википедия
Смысл нормального распределения заключается в том, что основная часть значений случайной величины концентрируется возле своей средней (математического ожидания случайной величины), а значения по краям кривой маловероятны (случаются редко). Так, чем больше стандартное отклонение значений от среднего, тем меньше вероятность их появления.
В статистике существует правило трёх сигм (стандартных отклонений), которое наглядно изображено на графике выше. Закрашенные на нём области под кривой показывают сколько процентов времени стандартное отклонение значений случайной величины не превышает одну, две или три сигмы. Значения с отклонением более трёх сигм считаются практически невозможными.
Чтобы проверить соблюдается ли нормальное распределение доходностей на рынке акций, возьмем полные (с дивидендами) реальные (выше инфляции) доходности акций США на периоде с 1871 по 2018 год (по данным Роберта Шиллера и Yahoo! Finance):
- среднее арифметическое этих доходностей составило 8.5%;
- стандартное отклонение = 18.5%.
Если бы кривая нормального распределения полностью описывала распределение доходностей на фондовом рынке, то, согласно правилу трёх сигм:
- 68.27% времени доходность была бы между средним арифметическим ± одно стандартное отклонение (-10% и 27%);
- 95.45% времени – между средним ± два стандартных отклонения (-28.5% и 45.5%);
- 99.73% времени – между средним ± три стандартных отклонения (-47% и 64%).
Наблюдение за реальными данными даёт хоть и похожий, но всё же отличающийся результат. На самом деле доходности рынка акций США выше инфляции за 148 лет укладывались:
- в одно стандартное отклонение от своей средней арифметической 67.57% времени (не 68.27%);
- в два стандартных отклонения – 93.92% времени (не 95.45%);
- в три стандартных отклонения – 100% времени (не 99.7%), значений за пределами -47% и 64% за этот период не было, минимальная и максимальная доходность составили -38.47% в 1931 году и 57.16% в 1954 году.
Получается, что 9 из 148 лет принесли доходность меньше -28.49% или больше 45.51% (двух стандартных отклонений), что составило 6.08% случаев, а не ожидаемые согласно нормальному распределению 100% — 95.45% = 4.55%. Разница не так велика, но она есть и говорит о том, что аномальные доходности на рынке акций немного более вероятны, чем предсказывает нормальное распределение.
Посмотрим на те же данные по США на графике распределения доходностей. Здесь и далее снова используются полные реальные годовые доходности, разделенные на интервалы по 10%, каждый год определен в свой интервал.
Источники данных: Robert Shiller, Yahoo! Finance; инфляция: Robert Shiller, Bureau of Labor Statistics
График напоминает кривую нормального распределения, однако, крайних значений немного больше, чем предполагает гауссиана, а значит они случаются чаще. Интервал от -40 до -30% содержит в себе 5 лет, что больше, чем у предыдущего интервала от -30 до -20% (4 года), а интервал от 50 до 60% содержит в себе столько же лет (3), сколько и предыдущий, хотя согласно нормальному распределению тоже должен быть меньше.
Это называется fat tail или толстый хвост кривой – вместо того, чтобы стремиться к оси абсцисс (к нулю), кривая может отрываться от неё, что не соответствует нормальному распределению. Крупные просадки или аномально высокие доходности не настолько маловероятны как предсказывает гауссиана, что получило название tail risk. Такое поведение рынка подчёркивает важность психологии в инвестировании и умения инвестора пережидать плохие годы, не продавая активы. Каким бы плохим не был отдельно взятый день или год, доходность акций и облигаций имеет положительное математическое ожидание (среднее значение), а значит время и сложный процент сделают своё дело.
Используя индекс полной доходности MSCI World Net я также построил график распределения реальных годовых доходностей акций развитых стран. Хотя доступная выборка по нему значительно меньше (с 1970 года), можно отметить сходство в количестве положительных периодов с акциями США – практически 70% времени он приносил положительную реальную доходность. Об особенностях распределения на этом периоде я говорить не буду – довольно маленькое число наблюдений. Здесь худшим годом для индекса стал 2008 – доходность едва опустилась за -40% с учетом инфляции, а лучшим – 1986 с практически такой же доходностью, но без минуса.
График: Capital-Gain.ru. Источники данных: MSCI World Net Index; инфляция: Bureau of Labor Statistics
И, наконец, давайте посмотрим на распределение месячных доходностей на рынке акций США с 1988 года (375 месяцев).
График: Capital-Gain.ru. Источник данных: Yahoo! Finance
Здесь тоже можно заметить аномальные доходности по краям (больше ±10% за один месяц — это сильно). Но что ещё общего можно заметить на этих графиках? Они все немного сдвинуты вправо по оси доходностей, можно сказать, имеют больший вес в своей положительной части. Это является свидетельством того, что доходность акций исторически имела положительное математическое ожидание. По сути мы видим здесь ту добавленную стоимость, что генерирует бизнес по всему миру.
Нассим Николас Талеб в своей книге «Черный лебедь» пишет, что нормальное распределение отлично подходит для описания физически ограниченных значений (например, рост человека), потому что они не масштабируются так сильно, как физически неограниченные (например, продажи бестселлера или доходность фондового рынка). Конечно, ни продажи, ни доходность не могут быть бесконечными, однако, вы с гораздо меньшей вероятностью встретите человека ростом 3 метра, чем неожиданно проданную огромным тиражом книгу или аномальную доходность на рынке. Такие из ряда вон выходящие события он называет черными и белыми лебедями (в зависимости от того негативный оно имеет смысл или позитивный). Тут стоит отметить, что, на мой взгляд и по результатам самостоятельного анализа данных, как нормальное распределение не описывает доходности на фондовом рынке полностью, так и Талеб в своей книге преувеличивает значимость этих отклонений от нормального распределения , если смотреть на них с точки зрения долгосрочного инвестора. Для трейдеров, впрочем, эти отклонения действительно могут быть гораздо более значительными, ведь они оперируют более короткими временными интервалами, на которых аномальные (для правила трёх сигм) доходности случаются чаще – в дневных и месячных данных появляются стандартные отклонения и больше трёх сигм, что по нормальному распределению практически невозможно. К тому же трейдеры могут автоматически фиксировать убытки с помощью биржевых заявок стоп лосс, которые не применяются пассивными портфельными инвесторами.
Популярным примером является черный понедельник 19 октября 1987 года, когда индекс Dow Jones за один день упал на 22.61% – 25 своих дневных стандартных отклонений (!). Более недавний пример, изображенный на графике ниже – 24 июня 2016 года, когда состоялся референдум о Брексите и некоторые активы продемонстрировали аномальную дневную доходность. Количество лет в последней колонке таблицы, которые, согласно нормальному распределению, надо подождать, чтобы увидеть такие дневные доходности, намекает нам, что они гораздо более вероятны, чем может предсказать кривая Гаусса.
Доходности инструментов в день референдума в Великобритании, их множитель СКО и количество лет, раз в которые они ожидаются согласно нормальному распределению вероятностей. Источник: Charlie Bilello
Несмотря на то, что аномальные доходности на фондовом рынке – не такая редкость, как может спрогнозировать кривая нормального распределения, долгосрочному инвестору не стоит обращать внимания на них и уж тем более продавать свои активы из-за плохих новостей, фиксируя убыток , потому что такие аномальные доходности встречаются чаще именно на дневных или месячных данных, чем на годовых. Картинка ниже вполне подтверждает выделенные в этой статье утверждения – плохие новости или нет, положительная ожидаемая доходность и сложный процент долгосрочно заставляют капитал расти.
Прирост капитала, вложенного в акции компаний малой капитализации (small stocks), крупной капитализации (large stocks), государственные облигации (government bonds), векселя (treasury bills) и инфляция. Источник: SeekingAlpha
На выше графике показаны события, которые повлияли на рынок. Как видите, несмотря на войны и кризисы, активы показали значимый прирост капитала, опережающий инфляцию. Другой популярный пример против торговли по новостям показывает, как часто СМИ ошибаются в своих прогнозах.
График индекса акций США S&P 500 и новостные заголовки. Источник: Barry Ritholtz
Комиссии и распределение доходностей
На новости мы повлиять не можем, зато вполне возможно повлиять на комиссии и налоги, которые инвестор платит фондам, брокерам и государству. Чем больше размер комиссий и налогов, тем меньше математическое ожидание доходности портфеля, а значит и распределение его доходностей на графике смещается влево на размер комиссий и налогов – ближе к отрицательной зоне. Схематично это показано на графике ниже.
Влияние комиссий и налогов на распределение доходностей. Источник: Vanguard
Долгосрочному пассивному инвестору гораздо полезнее думать о том как уменьшить свои комиссии и воспользоваться налоговыми льготами, чем о новостях и аномалиях на фондовом рынке.
Источник
CFA — Графическое представление финансовых данных
Графическое отображение данных позволяет нам быстро визуализировать важные характеристики финансовых данных. Рассмотрим гистограмму, многоугольник частот и накопленное частотное распределение, — в рамках изучения количественных методов по программе CFA.
Графическое отображение данных позволяет нам быстро визуализировать важные характеристики. Например, мы можем увидеть, что частотное распределение имеет симметричную форму, и этот результат может повлиять на то, какое распределение вероятностей мы используем для описания данных.
В этом разделе мы рассмотрим гистограмму, многоугольник частот и накопленное частотное распределение как методы графического отображения данных.
Мы строим все эти графические представления на основе информации, содержащейся в частотном распределении S&P 500 из Таблицы 3 или Таблицы 4 (см. CFA — Обобщение финансовых данных с использованием частотных распределений).
Гистограмма частотного распределения.
Гистограмма является графическим эквивалентом частотного распределения.
Определение гистограммы.
Гистограмма (англ. ‘histogram’) — это столбиковый график данных, которые были сгруппированы в частотное распределение.
Примечание. Из-за ограниченного пространства только каждый второй интервал доходности подписан ниже горизонтальной оси.
На гистограмме на Рисунке 1 высота каждого столбца отражает абсолютную частоту для каждого интервала доходности. Интервал доходности -10% ≤ Rt
На Рисунке 2 представлена гистограмма для частотного распределения месячной доходности по S&P 500. Она несколько более симметрична, чем гистограмма годовой доходности, показанная на Рисунке 1. Эта гистограмма также выглядит более колоколообразной, чем частотное распределение годовой доходности.
Многоугольник частот и накопленное распределение частот.
Два других графических инструмента для отображения данных — это многоугольник частот (или полигон частот, от англ. ‘frequency polygon’) и накопленное распределение частот (англ. ‘cumulative frequency distribution’).
Чтобы построить многоугольник частот, мы строим среднюю точку каждого интервала на оси X и абсолютную частоту для этого интервала на оси Y. Затем мы соединяем соседние точки прямой линией.
На Рисунке 3 показан многоугольник частот для 1044 месячных ставок доходности S&P 500 с января 1926 года по декабрь 2012 года.
На Рисунке 3 мы заменили столбцы гистограммы точками, связанными прямыми линиями. Например, интервал доходности от 0 до 2% имеет абсолютную частоту 220. В многоугольнике частот мы строим среднюю точку интервала доходности в 1% и частоту 220.
Все остальные точки мы строим аналогичным образом. Несмотря на то, что верхний предел интервала не является доходностью, попадающей в интервал, мы по-прежнему усредняем его с нижним пределом, чтобы определить среднюю точку.
Эта форма визуального отображения добавляет степень непрерывности к представлению частотного распределения.
Другой формой линейного графика является накопленное распределение частот. Этот график может отображать либо накопленную абсолютную, либо накопленную относительную частоту в зависимости от верхнего предела интервала.
Накопленное распределение частот позволяет нам увидеть, сколько или какой процент наблюдений лежат ниже определенного значения. Чтобы построить накопленное распределение частот, мы строим график показателей доходности из 4-го или 5-го столбца Таблицы 4 относительно верхнего предела каждого интервала доходности.
На Рисунке 4 представлен график накопленного абсолютного распределения для ежемесячной доходности S&P 500.
Обратите внимание, что накопленное распределение имеет тенденцию к выравниванию, когда доходность становится чрезвычайно отрицательной или чрезвычайно положительной. Крутой склон в середине графика отражает тот факт, что большинство наблюдений находятся в пределах от -2 до 6%.
Далее мы можем изучить взаимосвязь между относительной частотой и накопленной относительной частотой, взглянув на два интервала доходности, приведенные в Таблице 7.
Таблица 7. Частоты выбранных интерваловдля ежемесячной доходности S&P 500.
Абсолют-
ная частота
Относи-
тельная частота (%)
Накоп-
ленная абсолют-
ная частота
Накоп-
ленная относи-
тельная частота (%)
Источник