1 составить дискретный вариационный ряд по материалам своей профессиональной деятельности
Измерения диаметров 50 валиков, выточенных на станке, дали следующие результаты (в мм):
| 14,51 | 14,42 | 14,56 | 14,47 | 14,46 | 14,35 | 14,48 | 14,53 |
| 14,21 | 14,31 | 14,35 | 14,68 | 14,56 | 14,28 | 14,36 | 14,21 |
| 14,52 | 14,23 | 14,41 | 14,46 | 14,69 | 14,54 | 14,36 | 14,15 |
| 14,37 | 14,51 | 14,25 | 14,55 | 14,51 | 14,36 | 14,62 | 14,55 |
| 14,38 | 14,33 | 14,40 | 14,52 | 14,48 | 14,51 | 14,55 | 14,39 |
| 14,54 | 14,58 | 14,48 | 14,37 | 14,38 | 14,51 | 14,36 | 14,15 |
| 14,24 | 14,32 |
а) Построить дискретный вариационный ряд.
б) Построить интервальный вариационный ряд.
в) Для интервального вариационного ряда вычислить абсолютные и относительные плотности распределения.
а) Объем совокупности равен 50. Выпишем все различные значения диаметра валика и вычислим их частоты и относительные частоты, накопленные частоты и относительные накопленные частоты. Результаты представим в таблице (см. ниже).
Источник
Как построить вариационный ряд в Excel
Вариационный ряд может быть:
— дискретным, когда изучаемый признак характеризуется определенным числом (как правило целым).
— интервальным, когда определены границы «от» и «до» для непрерывно варьируемого признака. Интервальный ряд также строят если множество значений дискретно варьируемого признака велико.
Рассмотрим пример построения дискретного вариационного ряда.
Пример 1. Имеются данные о количественном составе 60 семей.
Построить вариационный ряд и полигон распределения
Решение .
Алгоритм построения вариационного ряда:
1) Откроем таблицы Excel.
2) Введем массив данных в диапазон А1:L5. Если вы изучаете документ в электронной форме (в формате Word, например), для этого достаточно выделить таблицу с данными и скопировать ее в буфер, затем выделить ячейку А1 и вставить данные – они автоматически займут подходящий диапазон.
3) Подсчитаем объем выборки n – число выборочных данных, для этого в ячейку В7 введем формулу =СЧЁТ(А1:L5). Заметим, что для того, чтобы в формулу ввести нужный диапазон, необязательно вводить его обозначение с клавиатуры, достаточно его выделить.
4) Определим минимальное и максимальное значение в выборке, введя в ячейку В8 формулу =МИН(А1:L5), и в ячейку В9: =МАКС(А1:L5).
Рис.1.1 Пример 1. Первичная обработка статистических данных в таблицах Excel
5) Далее, подготовим таблицу для построения вариационного ряда, введя названия для столбца интервалов (значений варианты) и столбца частот. В столбец интервалов введем значения признака от минимального (1) до максимального (6), заняв диапазон В12:В17.
6) Выделим столбец частот, введем формулу =ЧАСТОТА(А1:L5;В12:В17) и нажмем сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER
Рис.1.2 Пример 1. Построение вариационного ряда
7) Для контроля вычислим сумму частот при помощи функции СУММ (значок функции S в группе «Редактирование» на вкладке «Главная»), вычисленная сумма должна совпасть с ранее вычисленным объемом выборки в ячейке В7.
Построим полигон:
1) выделив полученный диапазон частот, выберем команду «График» на вкладке «Вставка». По умолчанию значениями на горизонтальной оси будут порядковые числа — в нашем случае от 1 до 6, что совпадает со значениями варианты (номерами тарифных разрядов).
2) Название ряда диаграммы «ряд 1» можно либо изменить, воспользовавшись той же опцией «выбрать данные» вкладки «Конструктор», либо просто удалить.
Рис.1.3. Пример 1. Построение полигона частот
Источник
2. Дискретный вариационный ряд.
Полигон частот и эмпирическая функция распределения
На вводном уроке по математической статистике мы узнали, что такое математическая статистика, и теперь обо всём подробнее. Далее для удобства я буду нумеровать статьи и постараюсь делать их не слишком длинными. Потому что всё действительно просто, и главное, здесь научиться рациональной технике вычислений, на которую и будет сделан особый упор.
Интервальные и дискретные вариационные ряды почти сразу же встретились в предыдущей статье, и мы начинаем с дискретного случая, когда количественная эмпирическая величина 
может принимать лишь отдельные изолированные значения.
…что-то не понятно по терминам? Срочно изучать первый урок! (ссылка выше)
Дискретный вариационный ряд – это упорядоченное по возрастанию (как правило) множество вариант 
(значений величины 
) и соответствующих им частот либо относительных частот.
Частоты выборочной совокупности обозначают через 
, частоты генеральной совокупности – через 
. И сразу разбираемся с новым термином. Относительные частоты рассчитываются по формулам:
, где 
– объем выборки, при этом, сумма всех относительных частот: 
.
Аналогично для совокупности генеральной: 
, где 
– её объем, и, очевидно: 
И тут вспоминается Пример 2 об оценках по матанализу в группе из 
студентов: 
– пожалуйста, пример дискретного вариационного ряда, где варианты 
– это оценки, а частоты 
– количество студентов, получивших ту или иную оценку.
Для разминки найдём относительные частоты: 
и непременно проконтролируем, что: 
.
Все вычисления обычно проводят на калькуляторе либо в Экселе, а результаты заносят в таблицу, при этом, в статистике данные чаще располагают не в строках, а в столбцах: 
Такое расположение обусловлено тем, что количество вариант может быть достаточно велико, и они просто не вместятся в строчку. Не редкость, когда их 10-20, а бывает, и 100-200, что тоже и неоднократно встречалось в моей практике. И это не какие-то супер-пупер расчёты, а учебные задачи!
После сей позитивной новости продолжаем 🙂
Откуда берутся дискретные вариационные ряды? Такие ряды появляются в результате учёта дискретной характеристики статистической совокупности, причём, варианты ряда не отличаются большим разнообразием. Например, оценки (коих не так много) в примере выше.
И сейчас мы примем непосредственное участие в этом процессе:
По результатам выборочного исследования рабочих цеха были установлены их квалификационные разряды: 4, 5, 6, 4, 4, 2, 3, 5, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 2, 3, 6, 5, 4, 6, 4, 3. Требуется:
– составить вариационный ряд и построить полигон частот;
– найти относительные частоты и построить эмпирическую функцию распределения.
Чего томиться? – вся тема урока в одной задаче!
Решение: в условии прямо сказано о том, что перед нами выборка из генеральной совокупности (всех рабочих цеха), и первое, что логично сделать – подсчитать её объем, т.е. количество рабочих. В данном случае это легко сделать устно: 
.
Квалификационные разряды – есть величина дискретная, и поэтому нам предстоит составить дискретный вариационный ряд (обратите внимание, что в условии ничего не сказано о характере ряда).
Как это сделать?
Если у вас под рукой нет вычислительных программ, то вручную (Эксель разберём ниже). При этом оптимальным может быть следующий алгоритм: сначала окидываем взглядом все числа и определяем среди них минимальное (примерно) и максимальное (примерно). В данном случае ориентировочный диапазон – от 1 до 7. Записываем их в столбец на черновике и обводим в кружочки. Далее начинаем вычёркивать карандашом числа из исходного списка: 
и делать около соответствующих кружков засечки: 
После того, как все числа будут вычеркнуты, подсчитываем количество засечек в каждой строке: 
И обязательно проверяем, получается ли у нас в сумме объём выборки 
: 
, отлично, искомый ряд составлен, заносим полученные значения в таблицу на чистовик: 
…ну что же, вполне и вполне логично – рабочих средней квалификации много, а учеников и мастеров – мало. Полученные результаты позволяют достаточно точно судить об уровне квалификации всего цеха (если, конечно, выборка представительна)
Построенный вариационный ряд также называют статистическим распределением выборки, причём, этот термин применИм не только для дискретного, но и для интервального ряда, который мы рассмотрим на следующем уроке.
Построим полигон частот. Это статистический аналог многоугольника распределения дискретной случайной величины (кто изучал). Полигон частот – это ломаная, соединяющая соседние точки 
: 
…эх, ностальгия. Но, пятилетку-другую, думается, так решать ещё будут.
Теперь современный способ:
Решаем! – исходные данные с пошаговой инструкцией прилагаются.
Вторая часть задачи. Найдём относительные частоты 
, для этого каждую частоту 
делим на 
и результат заносим в дополнительный столбец, далее я перехожу к электронной версии: 
– обязательно проверяем, что сумма относительных частот равна единице!
Иногда требуется построить полигон относительных частот. Как вы правильно догадываетесь – это ломаная, соединяющая соседние точки 
. Но такое задание больше характерно для интервального вариационного ряда.
А теперь посмотрим на относительные частоты и задумаемся, на что они похожи? …Правильно, на вероятности. Так, например, можно сказать, что 
– есть примерная вероятность того, что наугад выбранный рабочий цеха будет иметь 4 разряд. «Примерная» – по той причине, что перед нами выборка.
А вот если учесть ВСЕХ рабочих цеха (всю генеральную совокупность), то рассчитанные относительные частоты 
– и есть в точности эти вероятности.
Построим эмпирическую функцию распределения 
. Это статистический аналог функции распределения из тервера. Данная функция определяется, как отношение:
, где 
– количество вариант СТРОГО МЕНЬШИХ, чем 
,
при этом «икс» «пробегает» все значения от «минус» до «плюс» бесконечности.
И процесс пошёл:
Очевидно, что на интервале 
, и, кроме того, функция равна нулю ещё и в точке 
. Почему? Потому, что значение 
определяет количество вариант, которые СТРОГО меньше двух, а это количество равно нулю.
На промежутке 
– и опять обратите внимание, что значение 
не учитывает рабочих 3-го разряда, т.к. речь идёт о вариантах, которые СТРОГО меньше трёх.
На промежутке 
и далее процесс продолжается по принципу накопления частот:
– если 
, то 
;
– если 
, то 
;
– и, наконец, если 
, то 
– и в самом деле, для ЛЮБОГО «икс» из интервала 
ВСЕ частоты расположены СТРОГО левее этого «икс».
Накопленные относительные частоты удобно записывать в отдельный столбец таблицы, при этом алгоритм вычислений очень прост: сначала сносим слева 1-е значение (красная стрелка), а каждое следующее получаем как сумму предыдущего и относительной частоты из текущего левого столбца (зелёные обозначения): 
Вот, кстати, ещё один довод за вертикальную ориентацию данных – справа по надобности можно приписывать дополнительные столбцы.
Саму функцию принято записывать в кусочном виде: 
а её график представляет собой ступенчатую фигуру: 
Эмпирическая функция распределения не убывает и принимает значения из промежутка 
, и если у вас вдруг получится не так, то ищите ошибку.
И сейчас мы автоматизируем процесс; видео, к сожалению, не вписалось по ширине, посему смотрим его на Ютубе:
Как построить эмпирическую функцию распределения?
Эмпирическая функция распределения 
строится по выборке и приближает теоретическую функцию распределения 
. Легко догадаться, что последняя образуется на основании исследования всей генеральной совокупности, но если рабочих в цехе ещё пересчитать можно, то звёзды на небе – уже вряд ли. Вот поэтому и важнА именно эмпирическая функция, и ещё важнее, чтобы выборка была репрезентативна, дабы приближение было хорошим.
Миниатюрная задача для закрепления материала:
Дано статистическое распределение выборки 
Составить эмпирическую функцию распределения, выполнить чертёж
Самостоятельно решить Пример 5 в Экселе, все числа и обозначения уже там.
Свериться с образцом можно ниже. По поводу красоты чертежа сильно не запаривайтесь, главное, чтобы было правильно – этого обычно достаточно для зачёта.
И я жду вас на третьем уроке, где речь пойдёт об интервальном вариационном ряде.
Решения и ответы:
Пример 5. Решение: заполним расчётную таблицу: 
Составим эмпирическую функцию распределения: 
Выполним чертёж: 
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам
Источник